Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17065 / 10921
↖ ↑ ↗
← N 51.337476°
E  7.481689°		 ← 763.20 m → N 51.337476°
E  7.492676°		 →
↑
763.25 m
↓
↑
763.25 m
↓
N 51.330612°
E  7.481689°		 ← 763.31 m →
582 551 m²		 N 51.330612°
E  7.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520797729492188 y=0.333297729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520797729492188 × 215)
    floor (0.520797729492188 × 32768)
    floor (17065.5)     		tx = 17065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333297729492188 × 215)
    floor (0.333297729492188 × 32768)
    floor (10921.5)     		ty = 10921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17065 / 10921 ti = "15/17065/10921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17065/10921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17065 ÷ 215
    17065 ÷ 32768     		x = 0.520782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10921 ÷ 215
    10921 ÷ 32768     		y = 0.333282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520782470703125 × 2 - 1) × π
    0.04156494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13058011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333282470703125 × 2 - 1) × π
    0.33343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04751713049747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13058011} λ = 0.13058011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04751713049747))-π/2
    2×atan(2.85056474416448)-π/2
    2×1.2334021533787-π/2
    2.46680430675739-1.57079632675     		φ = 0.89600798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13058011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.481689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89600798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.337476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17065 KachelY 10921 0.13058011 0.89600798 7.481689 51.337476
    Oben rechts KachelX + 1 17066 KachelY 10921 0.13077186 0.89600798 7.492676 51.337476
    Unten links KachelX 17065 KachelY + 1 10922 0.13058011 0.89588818 7.481689 51.330612
    Unten rechts KachelX + 1 17066 KachelY + 1 10922 0.13077186 0.89588818 7.492676 51.330612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89600798-0.89588818) × R
    0.000119800000000003 × 6371000     		dl = 763.245800000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89600798-0.89588818) × R
    0.000119800000000003 × 6371000     		dr = 763.245800000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13058011-0.13077186) × cos(0.89600798) × R
    0.000191749999999991 × 0.624732063603693 × 6371000     		do = 763.19720963173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13058011-0.13077186) × cos(0.89588818) × R
    0.000191749999999991 × 0.62482560365596 × 6371000     		du = 763.311481831026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89600798)-sin(0.89588818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624732063603693-0.62482560365596)×R²
    abs(0.13077186-0.13058011)×9.35400522671381e-05×R²
    0.000191749999999991×9.35400522671381e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.35400522671381e-05×40589641000000     		ar = 582550.674407775m²