Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17072 / 10960
↖ ↑ ↗
← N 51.069017°
E  7.558594°		 ← 767.66 m → N 51.069017°
E  7.569580°		 →
↑
767.71 m
↓
↑
767.71 m
↓
N 51.062113°
E  7.558594°		 ← 767.77 m →
589 379 m²		 N 51.062113°
E  7.569580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521011352539062 y=0.334487915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521011352539062 × 215)
    floor (0.521011352539062 × 32768)
    floor (17072.5)     		tx = 17072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334487915039062 × 215)
    floor (0.334487915039062 × 32768)
    floor (10960.5)     		ty = 10960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17072 / 10960 ti = "15/17072/10960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17072/10960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17072 ÷ 215
    17072 ÷ 32768     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10960 ÷ 215
    10960 ÷ 32768     		y = 0.33447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33447265625 × 2 - 1) × π
    0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04003897415674))-π/2
    2×atan(2.82932728284772)-π/2
    2×1.23105940662107-π/2
    2.46211881324214-1.57079632675     		φ = 0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17072 KachelY 10960 0.13192235 0.89132249 7.558594 51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 17073 KachelY 10960 0.13211410 0.89132249 7.569580 51.069017
    Unten links KachelX 17072 KachelY + 1 10961 0.13192235 0.89120199 7.558594 51.062113
    Unten rechts KachelX + 1 17073 KachelY + 1 10961 0.13211410 0.89120199 7.569580 51.062113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89132249-0.89120199) × R
    0.000120499999999968 × 6371000     		dl = 767.705499999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89132249-0.89120199) × R
    0.000120499999999968 × 6371000     		dr = 767.705499999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13211410) × cos(0.89132249) × R
    0.000191750000000018 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 767.658322504502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13211410) × cos(0.89120199) × R
    0.000191750000000018 × 0.628477539647912 × 6371000     		du = 767.772830177394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89132249)-sin(0.89120199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.628477539647912)×R²
    abs(0.13211410-0.13192235)×9.37328044200436e-05×R²
    0.000191750000000018×9.37328044200436e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.37328044200436e-05×40589641000000     		ar = 589379.471105782m²