Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17073 / 10929
↖ ↑ ↗
← N 51.282535°
E  7.569580°		 ← 764.07 m → N 51.282535°
E  7.580566°		 →
↑
764.14 m
↓
↑
764.14 m
↓
N 51.275663°
E  7.569580°		 ← 764.19 m →
583 900 m²		 N 51.275663°
E  7.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521041870117188 y=0.333541870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521041870117188 × 215)
    floor (0.521041870117188 × 32768)
    floor (17073.5)     		tx = 17073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333541870117188 × 215)
    floor (0.333541870117188 × 32768)
    floor (10929.5)     		ty = 10929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17073 / 10929 ti = "15/17073/10929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17073/10929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17073 ÷ 215
    17073 ÷ 32768     		x = 0.521026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10929 ÷ 215
    10929 ÷ 32768     		y = 0.333526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521026611328125 × 2 - 1) × π
    0.04205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13211410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333526611328125 × 2 - 1) × π
    0.33294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04598314970963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13211410} λ = 0.13211410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04598314970963))-π/2
    2×atan(2.84619538472594)-π/2
    2×1.23292270287678-π/2
    2.46584540575356-1.57079632675     		φ = 0.89504908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13211410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89504908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.282535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17073 KachelY 10929 0.13211410 0.89504908 7.569580 51.282535
    Oben rechts KachelX + 1 17074 KachelY 10929 0.13230584 0.89504908 7.580566 51.282535
    Unten links KachelX 17073 KachelY + 1 10930 0.13211410 0.89492914 7.569580 51.275663
    Unten rechts KachelX + 1 17074 KachelY + 1 10930 0.13230584 0.89492914 7.580566 51.275663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89504908-0.89492914) × R
    0.000119940000000041 × 6371000     		dl = 764.137740000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89504908-0.89492914) × R
    0.000119940000000041 × 6371000     		dr = 764.137740000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13211410-0.13230584) × cos(0.89504908) × R
    0.000191739999999996 × 0.625480522976018 × 6371000     		do = 764.071707613895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13211410-0.13230584) × cos(0.89492914) × R
    0.000191739999999996 × 0.625574100436133 × 6371000     		du = 764.186019550266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89504908)-sin(0.89492914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625480522976018-0.625574100436133)×R²
    abs(0.13230584-0.13211410)×9.35774601147354e-05×R²
    0.000191739999999996×9.35774601147354e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.35774601147354e-05×40589641000000     		ar = 583899.703586136m²