Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17119 / 10849
↖ ↑ ↗
← N 51.828988°
E  8.074951°		 ← 754.99 m → N 51.828988°
E  8.085937°		 →
↑
755.03 m
↓
↑
755.03 m
↓
N 51.822198°
E  8.074951°		 ← 755.10 m →
570 078 m²		 N 51.822198°
E  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522445678710938 y=0.331100463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522445678710938 × 215)
    floor (0.522445678710938 × 32768)
    floor (17119.5)     		tx = 17119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331100463867188 × 215)
    floor (0.331100463867188 × 32768)
    floor (10849.5)     		ty = 10849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17119 / 10849 ti = "15/17119/10849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17119/10849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17119 ÷ 215
    17119 ÷ 32768     		x = 0.522430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10849 ÷ 215
    10849 ÷ 32768     		y = 0.331085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522430419921875 × 2 - 1) × π
    0.04486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14093448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331085205078125 × 2 - 1) × π
    0.33782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06132295758804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14093448} λ = 0.14093448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06132295758804))-π/2
    2×atan(2.89019206267184)-π/2
    2×1.23769141085-π/2
    2.4753828217-1.57079632675     		φ = 0.90458649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14093448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90458649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.828988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17119 KachelY 10849 0.14093448 0.90458649 8.074951 51.828988
    Oben rechts KachelX + 1 17120 KachelY 10849 0.14112623 0.90458649 8.085937 51.828988
    Unten links KachelX 17119 KachelY + 1 10850 0.14093448 0.90446798 8.074951 51.822198
    Unten rechts KachelX + 1 17120 KachelY + 1 10850 0.14112623 0.90446798 8.085937 51.822198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90458649-0.90446798) × R
    0.000118510000000072 × 6371000     		dl = 755.027210000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90458649-0.90446798) × R
    0.000118510000000072 × 6371000     		dr = 755.027210000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14093448-0.14112623) × cos(0.90458649) × R
    0.000191749999999991 × 0.61801072178077 × 6371000     		do = 754.986154648181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14093448-0.14112623) × cos(0.90446798) × R
    0.000191749999999991 × 0.61810388640811 × 6371000     		du = 755.099968213652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90458649)-sin(0.90446798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61801072178077-0.61810388640811)×R²
    abs(0.14112623-0.14093448)×9.31646273402142e-05×R²
    0.000191749999999991×9.31646273402142e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.31646273402142e-05×40589641000000     		ar = 570078.056770119m²