Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17120 / 10784
↖ ↑ ↗
← N 52.268157°
E  8.085937°		 ← 747.60 m → N 52.268157°
E  8.096924°		 →
↑
747.64 m
↓
↑
747.64 m
↓
N 52.261434°
E  8.085937°		 ← 747.72 m →
558 978 m²		 N 52.261434°
E  8.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522476196289062 y=0.329116821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522476196289062 × 215)
    floor (0.522476196289062 × 32768)
    floor (17120.5)     		tx = 17120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329116821289062 × 215)
    floor (0.329116821289062 × 32768)
    floor (10784.5)     		ty = 10784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17120 / 10784 ti = "15/17120/10784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17120/10784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17120 ÷ 215
    17120 ÷ 32768     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10784 ÷ 215
    10784 ÷ 32768     		y = 0.3291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3291015625 × 2 - 1) × π
    0.341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07378655148926))-π/2
    2×atan(2.9264396612845)-π/2
    2×1.24152388344946-π/2
    2.48304776689892-1.57079632675     		φ = 0.91225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.268157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17120 KachelY 10784 0.14112623 0.91225144 8.085937 52.268157
    Oben rechts KachelX + 1 17121 KachelY 10784 0.14131798 0.91225144 8.096924 52.268157
    Unten links KachelX 17120 KachelY + 1 10785 0.14112623 0.91213409 8.085937 52.261434
    Unten rechts KachelX + 1 17121 KachelY + 1 10785 0.14131798 0.91213409 8.096924 52.261434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91225144-0.91213409) × R
    0.000117350000000016 × 6371000     		dl = 747.636850000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91225144-0.91213409) × R
    0.000117350000000016 × 6371000     		dr = 747.636850000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14131798) × cos(0.91225144) × R
    0.000191750000000018 × 0.611966675158383 × 6371000     		do = 747.602510065552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14131798) × cos(0.91213409) × R
    0.000191750000000018 × 0.612059481128972 × 6371000     		du = 747.715885481858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91225144)-sin(0.91213409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611966675158383-0.612059481128972)×R²
    abs(0.14131798-0.14112623)×9.28059705896933e-05×R²
    0.000191750000000018×9.28059705896933e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.28059705896933e-05×40589641000000     		ar = 558977.568138973m²