Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17122 / 10850
↖ ↑ ↗
← N 51.822198°
E  8.107910°		 ← 755.10 m → N 51.822198°
E  8.118897°		 →
↑
755.09 m
↓
↑
755.09 m
↓
N 51.815407°
E  8.107910°		 ← 755.21 m →
570 212 m²		 N 51.815407°
E  8.118897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522537231445312 y=0.331130981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522537231445312 × 215)
    floor (0.522537231445312 × 32768)
    floor (17122.5)     		tx = 17122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331130981445312 × 215)
    floor (0.331130981445312 × 32768)
    floor (10850.5)     		ty = 10850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17122 / 10850 ti = "15/17122/10850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17122/10850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17122 ÷ 215
    17122 ÷ 32768     		x = 0.52252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10850 ÷ 215
    10850 ÷ 32768     		y = 0.33111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52252197265625 × 2 - 1) × π
    0.0450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14150973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33111572265625 × 2 - 1) × π
    0.3377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06113120998956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14150973} λ = 0.14150973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06113120998956))-π/2
    2×atan(2.88963792841333)-π/2
    2×1.23763215534849-π/2
    2.47526431069697-1.57079632675     		φ = 0.90446798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14150973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90446798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.822198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17122 KachelY 10850 0.14150973 0.90446798 8.107910 51.822198
    Oben rechts KachelX + 1 17123 KachelY 10850 0.14170148 0.90446798 8.118897 51.822198
    Unten links KachelX 17122 KachelY + 1 10851 0.14150973 0.90434946 8.107910 51.815407
    Unten rechts KachelX + 1 17123 KachelY + 1 10851 0.14170148 0.90434946 8.118897 51.815407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90446798-0.90434946) × R
    0.0001185199999999 × 6371000     		dl = 755.090919999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90446798-0.90434946) × R
    0.0001185199999999 × 6371000     		dr = 755.090919999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14150973-0.14170148) × cos(0.90446798) × R
    0.000191749999999991 × 0.61810388640811 × 6371000     		do = 755.099968213652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14150973-0.14170148) × cos(0.90434946) × R
    0.000191749999999991 × 0.618197050214648 × 6371000     		du = 755.213780776397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90446798)-sin(0.90434946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61810388640811-0.618197050214648)×R²
    abs(0.14170148-0.14150973)×9.31638065373441e-05×R²
    0.000191749999999991×9.31638065373441e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.31638065373441e-05×40589641000000     		ar = 570212.099773371m²