Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17124 / 10852
↖ ↑ ↗
← N 51.808615°
E  8.129883°		 ← 755.33 m → N 51.808615°
E  8.140869°		 →
↑
755.41 m
↓
↑
755.41 m
↓
N 51.801821°
E  8.129883°		 ← 755.44 m →
570 625 m²		 N 51.801821°
E  8.140869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522598266601562 y=0.331192016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522598266601562 × 215)
    floor (0.522598266601562 × 32768)
    floor (17124.5)     		tx = 17124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331192016601562 × 215)
    floor (0.331192016601562 × 32768)
    floor (10852.5)     		ty = 10852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17124 / 10852 ti = "15/17124/10852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17124/10852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17124 ÷ 215
    17124 ÷ 32768     		x = 0.5225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10852 ÷ 215
    10852 ÷ 32768     		y = 0.3311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5225830078125 × 2 - 1) × π
    0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3311767578125 × 2 - 1) × π
    0.337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0607477147926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14189322} λ = 0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0607477147926))-π/2
    2×atan(2.88852997860712)-π/2
    2×1.2375136175478-π/2
    2.4750272350956-1.57079632675     		φ = 0.90423091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90423091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.808615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17124 KachelY 10852 0.14189322 0.90423091 8.129883 51.808615
    Oben rechts KachelX + 1 17125 KachelY 10852 0.14208497 0.90423091 8.140869 51.808615
    Unten links KachelX 17124 KachelY + 1 10853 0.14189322 0.90411234 8.129883 51.801821
    Unten rechts KachelX + 1 17125 KachelY + 1 10853 0.14208497 0.90411234 8.140869 51.801821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90423091-0.90411234) × R
    0.00011857000000004 × 6371000     		dl = 755.409470000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90423091-0.90411234) × R
    0.00011857000000004 × 6371000     		dr = 755.409470000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14189322-0.14208497) × cos(0.90423091) × R
    0.000191750000000018 × 0.618290228915873 × 6371000     		do = 755.327611535188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14189322-0.14208497) × cos(0.90411234) × R
    0.000191750000000018 × 0.618383414645116 × 6371000     		du = 755.441450879571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90423091)-sin(0.90411234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618290228915873-0.618383414645116)×R²
    abs(0.14208497-0.14189322)×9.31857292426619e-05×R²
    0.000191750000000018×9.31857292426619e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.31857292426619e-05×40589641000000     		ar = 570624.629034231m²