Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17344 / 11200
↖ ↑ ↗
← N 49.382373°
E 10.546875°		 ← 795.30 m → N 49.382373°
E 10.557861°		 →
↑
795.36 m
↓
↑
795.36 m
↓
N 49.375220°
E 10.546875°		 ← 795.41 m →
632 590 m²		 N 49.375220°
E 10.557861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529312133789062 y=0.341812133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529312133789062 × 215)
    floor (0.529312133789062 × 32768)
    floor (17344.5)     		tx = 17344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341812133789062 × 215)
    floor (0.341812133789062 × 32768)
    floor (11200.5)     		ty = 11200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17344 / 11200 ti = "15/17344/11200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17344/11200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17344 ÷ 215
    17344 ÷ 32768     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11200 ÷ 215
    11200 ÷ 32768     		y = 0.341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341796875 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994019550521484))-π/2
    2×atan(2.70207379528506)-π/2
    2×1.21634066217848-π/2
    2.43268132435697-1.57079632675     		φ = 0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17344 KachelY 11200 0.18407769 0.86188500 10.546875 49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 17345 KachelY 11200 0.18426944 0.86188500 10.557861 49.382373
    Unten links KachelX 17344 KachelY + 1 11201 0.18407769 0.86176016 10.546875 49.375220
    Unten rechts KachelX + 1 17345 KachelY + 1 11201 0.18426944 0.86176016 10.557861 49.375220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86188500-0.86176016) × R
    0.000124840000000015 × 6371000     		dl = 795.355640000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86188500-0.86176016) × R
    0.000124840000000015 × 6371000     		dr = 795.355640000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18426944) × cos(0.86188500) × R
    0.000191750000000018 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 795.296652011877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18426944) × cos(0.86176016) × R
    0.000191750000000018 × 0.651102534008707 × 6371000     		du = 795.412411319572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86188500)-sin(0.86176016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.651102534008707)×R²
    abs(0.18426944-0.18407769)×9.47573579480609e-05×R²
    0.000191750000000018×9.47573579480609e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.47573579480609e-05×40589641000000     		ar = 632589.713382012m²