Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17376 / 11360
↖ ↑ ↗
← N 48.224673°
E 10.898438°		 ← 813.87 m → N 48.224673°
E 10.909424°		 →
↑
813.96 m
↓
↑
813.96 m
↓
N 48.217353°
E 10.898438°		 ← 813.99 m →
662 504 m²		 N 48.217353°
E 10.909424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530288696289062 y=0.346694946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530288696289062 × 215)
    floor (0.530288696289062 × 32768)
    floor (17376.5)     		tx = 17376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346694946289062 × 215)
    floor (0.346694946289062 × 32768)
    floor (11360.5)     		ty = 11360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17376 / 11360 ti = "15/17376/11360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17376/11360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17376 ÷ 215
    17376 ÷ 32768     		x = 0.5302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11360 ÷ 215
    11360 ÷ 32768     		y = 0.3466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5302734375 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3466796875 × 2 - 1) × π
    0.306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.963339934764648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19021362} λ = 0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963339934764648))-π/2
    2×atan(2.62043395245206)-π/2
    2×1.20623782260396-π/2
    2.41247564520792-1.57079632675     		φ = 0.84167932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84167932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.224673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17376 KachelY 11360 0.19021362 0.84167932 10.898438 48.224673
    Oben rechts KachelX + 1 17377 KachelY 11360 0.19040537 0.84167932 10.909424 48.224673
    Unten links KachelX 17376 KachelY + 1 11361 0.19021362 0.84155156 10.898438 48.217353
    Unten rechts KachelX + 1 17377 KachelY + 1 11361 0.19040537 0.84155156 10.909424 48.217353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84167932-0.84155156) × R
    0.000127760000000032 × 6371000     		dl = 813.958960000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84167932-0.84155156) × R
    0.000127760000000032 × 6371000     		dr = 813.958960000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19021362-0.19040537) × cos(0.84167932) × R
    0.000191749999999991 × 0.666211391183872 × 6371000     		do = 813.869984267281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19021362-0.19040537) × cos(0.84155156) × R
    0.000191749999999991 × 0.666306664421347 × 6371000     		du = 813.986373793656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84167932)-sin(0.84155156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666211391183872-0.666306664421347)×R²
    abs(0.19040537-0.19021362)×9.52732374753795e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52732374753795e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52732374753795e-05×40589641000000     		ar = 662504.135019934m²