Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17407 / 11265
↖ ↑ ↗
← N 48.915280°
E 11.239013°		 ← 802.83 m → N 48.915280°
E 11.250000°		 →
↑
802.87 m
↓
↑
802.87 m
↓
N 48.908060°
E 11.239013°		 ← 802.95 m →
644 617 m²		 N 48.908060°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531234741210938 y=0.343795776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531234741210938 × 215)
    floor (0.531234741210938 × 32768)
    floor (17407.5)     		tx = 17407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343795776367188 × 215)
    floor (0.343795776367188 × 32768)
    floor (11265.5)     		ty = 11265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17407 / 11265 ti = "15/17407/11265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17407/11265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17407 ÷ 215
    17407 ÷ 32768     		x = 0.531219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11265 ÷ 215
    11265 ÷ 32768     		y = 0.343780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531219482421875 × 2 - 1) × π
    0.06243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19615779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343780517578125 × 2 - 1) × π
    0.31243896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.98155595662027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19615779} λ = 0.19615779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98155595662027))-π/2
    2×atan(2.66860524725756)-π/2
    2×1.21226450737675-π/2
    2.4245290147535-1.57079632675     		φ = 0.85373269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19615779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.239013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85373269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.915280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17407 KachelY 11265 0.19615779 0.85373269 11.239013 48.915280
    Oben rechts KachelX + 1 17408 KachelY 11265 0.19634954 0.85373269 11.250000 48.915280
    Unten links KachelX 17407 KachelY + 1 11266 0.19615779 0.85360667 11.239013 48.908060
    Unten rechts KachelX + 1 17408 KachelY + 1 11266 0.19634954 0.85360667 11.250000 48.908060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85373269-0.85360667) × R
    0.000126019999999949 × 6371000     		dl = 802.873419999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85373269-0.85360667) × R
    0.000126019999999949 × 6371000     		dr = 802.873419999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19615779-0.19634954) × cos(0.85373269) × R
    0.000191749999999991 × 0.65717425778267 × 6371000     		do = 802.829867396888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19615779-0.19634954) × cos(0.85360667) × R
    0.000191749999999991 × 0.657269238712331 × 6371000     		du = 802.945899828563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85373269)-sin(0.85360667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65717425778267-0.657269238712331)×R²
    abs(0.19634954-0.19615779)×9.49809296608706e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49809296608706e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49809296608706e-05×40589641000000     		ar = 644617.341845017m²