Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17409 / 11263
↖ ↑ ↗
← N 48.929717°
E 11.260986°		 ← 802.60 m → N 48.929717°
E 11.271973°		 →
↑
802.62 m
↓
↑
802.62 m
↓
N 48.922499°
E 11.260986°		 ← 802.71 m →
644 226 m²		 N 48.922499°
E 11.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531295776367188 y=0.343734741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531295776367188 × 215)
    floor (0.531295776367188 × 32768)
    floor (17409.5)     		tx = 17409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343734741210938 × 215)
    floor (0.343734741210938 × 32768)
    floor (11263.5)     		ty = 11263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17409 / 11263 ti = "15/17409/11263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17409/11263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17409 ÷ 215
    17409 ÷ 32768     		x = 0.531280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11263 ÷ 215
    11263 ÷ 32768     		y = 0.343719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531280517578125 × 2 - 1) × π
    0.06256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19654129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343719482421875 × 2 - 1) × π
    0.31256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.98193945181723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19654129} λ = 0.19654129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98193945181723))-π/2
    2×atan(2.66962884081153)-π/2
    2×1.21239050075103-π/2
    2.42478100150206-1.57079632675     		φ = 0.85398467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19654129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85398467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.929717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17409 KachelY 11263 0.19654129 0.85398467 11.260986 48.929717
    Oben rechts KachelX + 1 17410 KachelY 11263 0.19673304 0.85398467 11.271973 48.929717
    Unten links KachelX 17409 KachelY + 1 11264 0.19654129 0.85385869 11.260986 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 17410 KachelY + 1 11264 0.19673304 0.85385869 11.271973 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85398467-0.85385869) × R
    0.00012597999999997 × 6371000     		dl = 802.618579999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85398467-0.85385869) × R
    0.00012597999999997 × 6371000     		dr = 802.618579999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19654129-0.19673304) × cos(0.85398467) × R
    0.000191749999999991 × 0.65698430984928 × 6371000     		do = 802.597819546002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19654129-0.19673304) × cos(0.85385869) × R
    0.000191749999999991 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 802.713840633397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85398467)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65698430984928-0.657079281492828)×R²
    abs(0.19673304-0.19654129)×9.49716435477699e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49716435477699e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49716435477699e-05×40589641000000     		ar = 644226.483427326m²