Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17411 / 11269
↖ ↑ ↗
← N 48.886392°
E 11.282959°		 ← 803.29 m → N 48.886392°
E 11.293945°		 →
↑
803.38 m
↓
↑
803.38 m
↓
N 48.879167°
E 11.282959°		 ← 803.41 m →
645 399 m²		 N 48.879167°
E 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531356811523438 y=0.343917846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531356811523438 × 215)
    floor (0.531356811523438 × 32768)
    floor (17411.5)     		tx = 17411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343917846679688 × 215)
    floor (0.343917846679688 × 32768)
    floor (11269.5)     		ty = 11269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17411 / 11269 ti = "15/17411/11269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17411/11269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17411 ÷ 215
    17411 ÷ 32768     		x = 0.531341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11269 ÷ 215
    11269 ÷ 32768     		y = 0.343902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531341552734375 × 2 - 1) × π
    0.06268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19692478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343902587890625 × 2 - 1) × π
    0.31219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.980788966226349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19692478} λ = 0.19692478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980788966226349))-π/2
    2×atan(2.666559237403)-π/2
    2×1.21201241135278-π/2
    2.42402482270555-1.57079632675     		φ = 0.85322850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19692478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85322850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.886392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17411 KachelY 11269 0.19692478 0.85322850 11.282959 48.886392
    Oben rechts KachelX + 1 17412 KachelY 11269 0.19711653 0.85322850 11.293945 48.886392
    Unten links KachelX 17411 KachelY + 1 11270 0.19692478 0.85310240 11.282959 48.879167
    Unten rechts KachelX + 1 17412 KachelY + 1 11270 0.19711653 0.85310240 11.293945 48.879167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85322850-0.85310240) × R
    0.000126099999999907 × 6371000     		dl = 803.383099999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85322850-0.85310240) × R
    0.000126099999999907 × 6371000     		dr = 803.383099999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19692478-0.19711653) × cos(0.85322850) × R
    0.000191750000000018 × 0.657554201741365 × 6371000     		do = 803.294021849747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19692478-0.19711653) × cos(0.85310240) × R
    0.000191750000000018 × 0.657649201166332 × 6371000     		du = 803.410076876014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85322850)-sin(0.85310240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657554201741365-0.657649201166332)×R²
    abs(0.19711653-0.19692478)×9.4999424966713e-05×R²
    0.000191750000000018×9.4999424966713e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.4999424966713e-05×40589641000000     		ar = 645399.46066377m²