Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17414 / 11270
↖ ↑ ↗
← N 48.879167°
E 11.315918°		 ← 803.37 m → N 48.879167°
E 11.326904°		 →
↑
803.45 m
↓
↑
803.45 m
↓
N 48.871941°
E 11.315918°		 ← 803.48 m →
645 510 m²		 N 48.871941°
E 11.326904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531448364257812 y=0.343948364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531448364257812 × 215)
    floor (0.531448364257812 × 32768)
    floor (17414.5)     		tx = 17414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343948364257812 × 215)
    floor (0.343948364257812 × 32768)
    floor (11270.5)     		ty = 11270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17414 / 11270 ti = "15/17414/11270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17414/11270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17414 ÷ 215
    17414 ÷ 32768     		x = 0.53143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11270 ÷ 215
    11270 ÷ 32768     		y = 0.34393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53143310546875 × 2 - 1) × π
    0.0628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19750003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34393310546875 × 2 - 1) × π
    0.3121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.980597218627869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19750003} λ = 0.19750003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980597218627869))-π/2
    2×atan(2.66604798009077)-π/2
    2×1.21194936457923-π/2
    2.42389872915847-1.57079632675     		φ = 0.85310240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19750003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.315918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85310240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.879167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17414 KachelY 11270 0.19750003 0.85310240 11.315918 48.879167
    Oben rechts KachelX + 1 17415 KachelY 11270 0.19769177 0.85310240 11.326904 48.879167
    Unten links KachelX 17414 KachelY + 1 11271 0.19750003 0.85297629 11.315918 48.871941
    Unten rechts KachelX + 1 17415 KachelY + 1 11271 0.19769177 0.85297629 11.326904 48.871941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85310240-0.85297629) × R
    0.000126110000000068 × 6371000     		dl = 803.446810000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85310240-0.85297629) × R
    0.000126110000000068 × 6371000     		dr = 803.446810000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19750003-0.19769177) × cos(0.85310240) × R
    0.000191739999999996 × 0.657649201166332 × 6371000     		do = 803.368178045313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19750003-0.19769177) × cos(0.85297629) × R
    0.000191739999999996 × 0.657744197666295 × 6371000     		du = 803.484223446053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85310240)-sin(0.85297629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657649201166332-0.657744197666295)×R²
    abs(0.19769177-0.19750003)×9.49964999624742e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49964999624742e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49964999624742e-05×40589641000000     		ar = 645510.218915251m²