Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17416 / 11272
↖ ↑ ↗
← N 48.864715°
E 11.337891°		 ← 803.64 m → N 48.864715°
E 11.348877°		 →
↑
803.70 m
↓
↑
803.70 m
↓
N 48.857487°
E 11.337891°		 ← 803.76 m →
645 935 m²		 N 48.857487°
E 11.348877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531509399414062 y=0.344009399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531509399414062 × 215)
    floor (0.531509399414062 × 32768)
    floor (17416.5)     		tx = 17416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344009399414062 × 215)
    floor (0.344009399414062 × 32768)
    floor (11272.5)     		ty = 11272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17416 / 11272 ti = "15/17416/11272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17416/11272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17416 ÷ 215
    17416 ÷ 32768     		x = 0.531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11272 ÷ 215
    11272 ÷ 32768     		y = 0.343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531494140625 × 2 - 1) × π
    0.06298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19788352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343994140625 × 2 - 1) × π
    0.31201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.980213723430908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19788352} λ = 0.19788352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980213723430908))-π/2
    2×atan(2.66502575951641)-π/2
    2×1.2118232437089-π/2
    2.4236464874178-1.57079632675     		φ = 0.85285016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19788352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85285016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.864715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17416 KachelY 11272 0.19788352 0.85285016 11.337891 48.864715
    Oben rechts KachelX + 1 17417 KachelY 11272 0.19807527 0.85285016 11.348877 48.864715
    Unten links KachelX 17416 KachelY + 1 11273 0.19788352 0.85272401 11.337891 48.857487
    Unten rechts KachelX + 1 17417 KachelY + 1 11273 0.19807527 0.85272401 11.348877 48.857487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85285016-0.85272401) × R
    0.000126150000000047 × 6371000     		dl = 803.7016500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85285016-0.85272401) × R
    0.000126150000000047 × 6371000     		dr = 803.7016500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19788352-0.19807527) × cos(0.85285016) × R
    0.000191749999999991 × 0.657839198768838 × 6371000     		do = 803.642185404524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19788352-0.19807527) × cos(0.85272401) × R
    0.000191749999999991 × 0.657934204467473 × 6371000     		du = 803.75824809495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85285016)-sin(0.85272401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657839198768838-0.657934204467473)×R²
    abs(0.19807527-0.19788352)×9.50056986347425e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50056986347425e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50056986347425e-05×40589641000000     		ar = 645935.19116458m²