Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17420 / 11276
↖ ↑ ↗
← N 48.835798°
E 11.381836°		 ← 804.11 m → N 48.835798°
E 11.392822°		 →
↑
804.15 m
↓
↑
804.15 m
↓
N 48.828566°
E 11.381836°		 ← 804.22 m →
646 667 m²		 N 48.828566°
E 11.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531631469726562 y=0.344131469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531631469726562 × 215)
    floor (0.531631469726562 × 32768)
    floor (17420.5)     		tx = 17420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344131469726562 × 215)
    floor (0.344131469726562 × 32768)
    floor (11276.5)     		ty = 11276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17420 / 11276 ti = "15/17420/11276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17420/11276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17420 ÷ 215
    17420 ÷ 32768     		x = 0.5316162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11276 ÷ 215
    11276 ÷ 32768     		y = 0.3441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5316162109375 × 2 - 1) × π
    0.063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19865051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3441162109375 × 2 - 1) × π
    0.311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979446733036987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19865051} λ = 0.19865051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979446733036987))-π/2
    2×atan(2.66298249404197)-π/2
    2×1.21157089266649-π/2
    2.42314178533298-1.57079632675     		φ = 0.85234546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19865051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85234546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.835798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17420 KachelY 11276 0.19865051 0.85234546 11.381836 48.835798
    Oben rechts KachelX + 1 17421 KachelY 11276 0.19884226 0.85234546 11.392822 48.835798
    Unten links KachelX 17420 KachelY + 1 11277 0.19865051 0.85221924 11.381836 48.828566
    Unten rechts KachelX + 1 17421 KachelY + 1 11277 0.19884226 0.85221924 11.392822 48.828566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85234546-0.85221924) × R
    0.000126219999999955 × 6371000     		dl = 804.147619999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85234546-0.85221924) × R
    0.000126219999999955 × 6371000     		dr = 804.147619999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19865051-0.19884226) × cos(0.85234546) × R
    0.000191749999999991 × 0.658219234018474 × 6371000     		do = 804.106451381864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19865051-0.19884226) × cos(0.85221924) × R
    0.000191749999999991 × 0.658314250510769 × 6371000     		du = 804.222527258249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85234546)-sin(0.85221924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658219234018474-0.658314250510769)×R²
    abs(0.19884226-0.19865051)×9.50164922949304e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50164922949304e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50164922949304e-05×40589641000000     		ar = 646666.96103332m²