Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17424 / 11312
↖ ↑ ↗
← N 48.574790°
E 11.425781°		 ← 808.29 m → N 48.574790°
E 11.436768°		 →
↑
808.35 m
↓
↑
808.35 m
↓
N 48.567520°
E 11.425781°		 ← 808.40 m →
653 428 m²		 N 48.567520°
E 11.436768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531753540039062 y=0.345230102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531753540039062 × 215)
    floor (0.531753540039062 × 32768)
    floor (17424.5)     		tx = 17424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345230102539062 × 215)
    floor (0.345230102539062 × 32768)
    floor (11312.5)     		ty = 11312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17424 / 11312 ti = "15/17424/11312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17424/11312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17424 ÷ 215
    17424 ÷ 32768     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11312 ÷ 215
    11312 ÷ 32768     		y = 0.34521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34521484375 × 2 - 1) × π
    0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972543819491699))-π/2
    2×atan(2.64466345622225)-π/2
    2×1.20929317209337-π/2
    2.41858634418674-1.57079632675     		φ = 0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17424 KachelY 11312 0.19941750 0.84779002 11.425781 48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 17425 KachelY 11312 0.19960925 0.84779002 11.436768 48.574790
    Unten links KachelX 17424 KachelY + 1 11313 0.19941750 0.84766314 11.425781 48.567520
    Unten rechts KachelX + 1 17425 KachelY + 1 11313 0.19960925 0.84766314 11.436768 48.567520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84779002-0.84766314) × R
    0.000126880000000051 × 6371000     		dl = 808.352480000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84779002-0.84766314) × R
    0.000126880000000051 × 6371000     		dr = 808.352480000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19960925) × cos(0.84779002) × R
    0.000191749999999991 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 808.287650374399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19960925) × cos(0.84766314) × R
    0.000191749999999991 × 0.661736979359643 × 6371000     		du = 808.40386716214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84779002)-sin(0.84766314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.661736979359643)×R²
    abs(0.19960925-0.19941750)×9.51318384223576e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51318384223576e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51318384223576e-05×40589641000000     		ar = 653428.299674383m²