Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17425 / 11279
↖ ↑ ↗
← N 48.814098°
E 11.436768°		 ← 804.45 m → N 48.814098°
E 11.447754°		 →
↑
804.53 m
↓
↑
804.53 m
↓
N 48.806863°
E 11.436768°		 ← 804.57 m →
647 255 m²		 N 48.806863°
E 11.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531784057617188 y=0.344223022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531784057617188 × 215)
    floor (0.531784057617188 × 32768)
    floor (17425.5)     		tx = 17425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344223022460938 × 215)
    floor (0.344223022460938 × 32768)
    floor (11279.5)     		ty = 11279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17425 / 11279 ti = "15/17425/11279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17425/11279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17425 ÷ 215
    17425 ÷ 32768     		x = 0.531768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11279 ÷ 215
    11279 ÷ 32768     		y = 0.344207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531768798828125 × 2 - 1) × π
    0.06353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19960925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344207763671875 × 2 - 1) × π
    0.31158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.978871490241547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19960925} λ = 0.19960925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978871490241547))-π/2
    2×atan(2.66145107305956)-π/2
    2×1.21138153373587-π/2
    2.42276306747175-1.57079632675     		φ = 0.85196674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19960925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.436768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85196674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.814098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17425 KachelY 11279 0.19960925 0.85196674 11.436768 48.814098
    Oben rechts KachelX + 1 17426 KachelY 11279 0.19980100 0.85196674 11.447754 48.814098
    Unten links KachelX 17425 KachelY + 1 11280 0.19960925 0.85184046 11.436768 48.806863
    Unten rechts KachelX + 1 17426 KachelY + 1 11280 0.19980100 0.85184046 11.447754 48.806863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85196674-0.85184046) × R
    0.000126279999999923 × 6371000     		dl = 804.52987999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85196674-0.85184046) × R
    0.000126279999999923 × 6371000     		dr = 804.52987999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19960925-0.19980100) × cos(0.85196674) × R
    0.000191750000000018 × 0.658504297184688 × 6371000     		do = 804.454695734556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19960925-0.19980100) × cos(0.85184046) × R
    0.000191750000000018 × 0.658599327353307 × 6371000     		du = 804.570788318475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85196674)-sin(0.85184046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658504297184688-0.658599327353307)×R²
    abs(0.19980100-0.19960925)×9.50301686188926e-05×R²
    0.000191750000000018×9.50301686188926e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.50301686188926e-05×40589641000000     		ar = 647254.540660549m²