Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17441 / 11295
↖ ↑ ↗
← N 48.698212°
E 11.612549°		 ← 806.31 m → N 48.698212°
E 11.623535°		 →
↑
806.38 m
↓
↑
806.38 m
↓
N 48.690960°
E 11.612549°		 ← 806.43 m →
650 239 m²		 N 48.690960°
E 11.623535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532272338867188 y=0.344711303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532272338867188 × 215)
    floor (0.532272338867188 × 32768)
    floor (17441.5)     		tx = 17441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344711303710938 × 215)
    floor (0.344711303710938 × 32768)
    floor (11295.5)     		ty = 11295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17441 / 11295 ti = "15/17441/11295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17441/11295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17441 ÷ 215
    17441 ÷ 32768     		x = 0.532257080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11295 ÷ 215
    11295 ÷ 32768     		y = 0.344696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532257080078125 × 2 - 1) × π
    0.06451416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20267721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344696044921875 × 2 - 1) × π
    0.31060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.975803528665863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20267721} λ = 0.20267721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975803528665863))-π/2
    2×atan(2.65329835593799)-π/2
    2×1.21037023445071-π/2
    2.42074046890143-1.57079632675     		φ = 0.84994414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20267721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.612549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84994414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.698212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17441 KachelY 11295 0.20267721 0.84994414 11.612549 48.698212
    Oben rechts KachelX + 1 17442 KachelY 11295 0.20286896 0.84994414 11.623535 48.698212
    Unten links KachelX 17441 KachelY + 1 11296 0.20267721 0.84981757 11.612549 48.690960
    Unten rechts KachelX + 1 17442 KachelY + 1 11296 0.20286896 0.84981757 11.623535 48.690960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84994414-0.84981757) × R
    0.000126569999999937 × 6371000     		dl = 806.377469999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84994414-0.84981757) × R
    0.000126569999999937 × 6371000     		dr = 806.377469999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20267721-0.20286896) × cos(0.84994414) × R
    0.000191749999999991 × 0.660025111378706 × 6371000     		do = 806.312582045809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20267721-0.20286896) × cos(0.84981757) × R
    0.000191749999999991 × 0.66012019098618 × 6371000     		du = 806.428735026173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84994414)-sin(0.84981757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660025111378706-0.66012019098618)×R²
    abs(0.20286896-0.20267721)×9.50796074737914e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50796074737914e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50796074737914e-05×40589641000000     		ar = 650239.1323802m²