Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17444 / 11300
↖ ↑ ↗
← N 48.661943°
E 11.645508°		 ← 806.89 m → N 48.661943°
E 11.656494°		 →
↑
806.95 m
↓
↑
806.95 m
↓
N 48.654686°
E 11.645508°		 ← 807.01 m →
651 170 m²		 N 48.654686°
E 11.656494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532363891601562 y=0.344863891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532363891601562 × 215)
    floor (0.532363891601562 × 32768)
    floor (17444.5)     		tx = 17444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344863891601562 × 215)
    floor (0.344863891601562 × 32768)
    floor (11300.5)     		ty = 11300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17444 / 11300 ti = "15/17444/11300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17444/11300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17444 ÷ 215
    17444 ÷ 32768     		x = 0.5323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11300 ÷ 215
    11300 ÷ 32768     		y = 0.3448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5323486328125 × 2 - 1) × π
    0.064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20325245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3448486328125 × 2 - 1) × π
    0.310302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.974844790673462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20325245} λ = 0.20325245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974844790673462))-π/2
    2×atan(2.65075575703682)-π/2
    2×1.21005372492886-π/2
    2.42010744985772-1.57079632675     		φ = 0.84931112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20325245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84931112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.661943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17444 KachelY 11300 0.20325245 0.84931112 11.645508 48.661943
    Oben rechts KachelX + 1 17445 KachelY 11300 0.20344420 0.84931112 11.656494 48.661943
    Unten links KachelX 17444 KachelY + 1 11301 0.20325245 0.84918446 11.645508 48.654686
    Unten rechts KachelX + 1 17445 KachelY + 1 11301 0.20344420 0.84918446 11.656494 48.654686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84931112-0.84918446) × R
    0.000126659999999945 × 6371000     		dl = 806.950859999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84931112-0.84918446) × R
    0.000126659999999945 × 6371000     		dr = 806.950859999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20325245-0.20344420) × cos(0.84931112) × R
    0.000191749999999991 × 0.660500531290181 × 6371000     		do = 806.893373669898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20325245-0.20344420) × cos(0.84918446) × R
    0.000191749999999991 × 0.660595625559477 × 6371000     		du = 807.00954456172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84931112)-sin(0.84918446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660500531290181-0.660595625559477)×R²
    abs(0.20344420-0.20325245)×9.50942692959922e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50942692959922e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50942692959922e-05×40589641000000     		ar = 651170.174782154m²