Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17504 / 11232
↖ ↑ ↗
← N 49.152970°
E 12.304687°		 ← 799 m → N 49.152970°
E 12.315674°		 →
↑
799.05 m
↓
↑
799.05 m
↓
N 49.145784°
E 12.304687°		 ← 799.12 m →
638 490 m²		 N 49.145784°
E 12.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534194946289062 y=0.342788696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534194946289062 × 215)
    floor (0.534194946289062 × 32768)
    floor (17504.5)     		tx = 17504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342788696289062 × 215)
    floor (0.342788696289062 × 32768)
    floor (11232.5)     		ty = 11232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17504 / 11232 ti = "15/17504/11232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17504/11232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17504 ÷ 215
    17504 ÷ 32768     		x = 0.5341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11232 ÷ 215
    11232 ÷ 32768     		y = 0.3427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5341796875 × 2 - 1) × π
    0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21475731} λ = 0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987883627370117))-π/2
    2×atan(2.68554484018595)-π/2
    2×1.21433874220473-π/2
    2.42867748440947-1.57079632675     		φ = 0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17504 KachelY 11232 0.21475731 0.85788116 12.304687 49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 17505 KachelY 11232 0.21494906 0.85788116 12.315674 49.152970
    Unten links KachelX 17504 KachelY + 1 11233 0.21475731 0.85775574 12.304687 49.145784
    Unten rechts KachelX + 1 17505 KachelY + 1 11233 0.21494906 0.85775574 12.315674 49.145784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85788116-0.85775574) × R
    0.000125420000000043 × 6371000     		dl = 799.050820000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85788116-0.85775574) × R
    0.000125420000000043 × 6371000     		dr = 799.050820000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21475731-0.21494906) × cos(0.85788116) × R
    0.000191749999999991 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 799.003072383567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21475731-0.21494906) × cos(0.85775574) × R
    0.000191749999999991 × 0.654136619420352 × 6371000     		du = 799.118969146175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85788116)-sin(0.85775574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.654136619420352)×R²
    abs(0.21494906-0.21475731)×9.48698747257337e-05×R²
    0.000191749999999991×9.48698747257337e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.48698747257337e-05×40589641000000     		ar = 638490.364709108m²