Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17535 / 11391
↖ ↑ ↗
← N 47.997274°
E 12.645264°		 ← 817.44 m → N 47.997274°
E 12.656250°		 →
↑
817.53 m
↓
↑
817.53 m
↓
N 47.989922°
E 12.645264°		 ← 817.55 m →
668 324 m²		 N 47.989922°
E 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535140991210938 y=0.347640991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535140991210938 × 215)
    floor (0.535140991210938 × 32768)
    floor (17535.5)     		tx = 17535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347640991210938 × 215)
    floor (0.347640991210938 × 32768)
    floor (11391.5)     		ty = 11391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17535 / 11391 ti = "15/17535/11391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17535/11391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17535 ÷ 215
    17535 ÷ 32768     		x = 0.535125732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11391 ÷ 215
    11391 ÷ 32768     		y = 0.347625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535125732421875 × 2 - 1) × π
    0.07025146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22070149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347625732421875 × 2 - 1) × π
    0.30474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.957395759211761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22070149} λ = 0.22070149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957395759211761))-π/2
    2×atan(2.60490383561177)-π/2
    2×1.2042533938777-π/2
    2.4085067877554-1.57079632675     		φ = 0.83771046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22070149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.645264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83771046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.997274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17535 KachelY 11391 0.22070149 0.83771046 12.645264 47.997274
    Oben rechts KachelX + 1 17536 KachelY 11391 0.22089323 0.83771046 12.656250 47.997274
    Unten links KachelX 17535 KachelY + 1 11392 0.22070149 0.83758214 12.645264 47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 17536 KachelY + 1 11392 0.22089323 0.83758214 12.656250 47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83771046-0.83758214) × R
    0.000128320000000071 × 6371000     		dl = 817.52672000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83771046-0.83758214) × R
    0.000128320000000071 × 6371000     		dr = 817.52672000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22070149-0.22089323) × cos(0.83771046) × R
    0.000191739999999996 × 0.669165965143599 × 6371000     		do = 817.436775219895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22070149-0.22089323) × cos(0.83758214) × R
    0.000191739999999996 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 817.553253362532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83771046)-sin(0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669165965143599-0.669261315892548)×R²
    abs(0.22089323-0.22070149)×9.53507489486194e-05×R²
    0.000191739999999996×9.53507489486194e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.53507489486194e-05×40589641000000     		ar = 668324.018567601m²