Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17537 / 11393
↖ ↑ ↗
← N 47.982568°
E 12.667236°		 ← 817.71 m → N 47.982568°
E 12.678223°		 →
↑
817.72 m
↓
↑
817.72 m
↓
N 47.975214°
E 12.667236°		 ← 817.83 m →
668 706 m²		 N 47.975214°
E 12.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535202026367188 y=0.347702026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535202026367188 × 215)
    floor (0.535202026367188 × 32768)
    floor (17537.5)     		tx = 17537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347702026367188 × 215)
    floor (0.347702026367188 × 32768)
    floor (11393.5)     		ty = 11393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17537 / 11393 ti = "15/17537/11393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17537/11393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17537 ÷ 215
    17537 ÷ 32768     		x = 0.535186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11393 ÷ 215
    11393 ÷ 32768     		y = 0.347686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535186767578125 × 2 - 1) × π
    0.07037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22108498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347686767578125 × 2 - 1) × π
    0.30462646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.957012264014801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22108498} λ = 0.22108498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957012264014801))-π/2
    2×atan(2.60390505902752)-π/2
    2×1.20412506462766-π/2
    2.40825012925532-1.57079632675     		φ = 0.83745380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22108498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83745380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.982568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17537 KachelY 11393 0.22108498 0.83745380 12.667236 47.982568
    Oben rechts KachelX + 1 17538 KachelY 11393 0.22127673 0.83745380 12.678223 47.982568
    Unten links KachelX 17537 KachelY + 1 11394 0.22108498 0.83732545 12.667236 47.975214
    Unten rechts KachelX + 1 17538 KachelY + 1 11394 0.22127673 0.83732545 12.678223 47.975214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83745380-0.83732545) × R
    0.000128349999999999 × 6371000     		dl = 817.717849999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83745380-0.83732545) × R
    0.000128349999999999 × 6371000     		dr = 817.717849999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22108498-0.22127673) × cos(0.83745380) × R
    0.000191750000000018 × 0.669356670480249 × 6371000     		do = 817.712380908067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22108498-0.22127673) × cos(0.83732545) × R
    0.000191750000000018 × 0.669452021471425 × 6371000     		du = 817.828865421414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83745380)-sin(0.83732545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669356670480249-0.669452021471425)×R²
    abs(0.22127673-0.22108498)×9.53509911764128e-05×R²
    0.000191750000000018×9.53509911764128e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.53509911764128e-05×40589641000000     		ar = 668705.636685106m²