Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17544 / 11400
↖ ↑ ↗
← N 47.931066°
E 12.744140°		 ← 818.53 m → N 47.931066°
E 12.755127°		 →
↑
818.55 m
↓
↑
818.55 m
↓
N 47.923705°
E 12.744140°		 ← 818.64 m →
670 050 m²		 N 47.923705°
E 12.755127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535415649414062 y=0.347915649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535415649414062 × 215)
    floor (0.535415649414062 × 32768)
    floor (17544.5)     		tx = 17544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347915649414062 × 215)
    floor (0.347915649414062 × 32768)
    floor (11400.5)     		ty = 11400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17544 / 11400 ti = "15/17544/11400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17544/11400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17544 ÷ 215
    17544 ÷ 32768     		x = 0.535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11400 ÷ 215
    11400 ÷ 32768     		y = 0.347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535400390625 × 2 - 1) × π
    0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347900390625 × 2 - 1) × π
    0.30419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.955670030825439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22242721} λ = 0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955670030825439))-π/2
    2×atan(2.60041235577083)-π/2
    2×1.20367562426625-π/2
    2.40735124853249-1.57079632675     		φ = 0.83655492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83655492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.931066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17544 KachelY 11400 0.22242721 0.83655492 12.744140 47.931066
    Oben rechts KachelX + 1 17545 KachelY 11400 0.22261896 0.83655492 12.755127 47.931066
    Unten links KachelX 17544 KachelY + 1 11401 0.22242721 0.83642644 12.744140 47.923705
    Unten rechts KachelX + 1 17545 KachelY + 1 11401 0.22261896 0.83642644 12.755127 47.923705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83655492-0.83642644) × R
    0.000128479999999986 × 6371000     		dl = 818.546079999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83655492-0.83642644) × R
    0.000128479999999986 × 6371000     		dr = 818.546079999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22242721-0.22261896) × cos(0.83655492) × R
    0.000191750000000018 × 0.670024214973752 × 6371000     		do = 818.527879462452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22242721-0.22261896) × cos(0.83642644) × R
    0.000191750000000018 × 0.670119585189319 × 6371000     		du = 818.644387461068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83655492)-sin(0.83642644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670024214973752-0.670119585189319)×R²
    abs(0.22261896-0.22242721)×9.53702155661595e-05×R²
    0.000191750000000018×9.53702155661595e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.53702155661595e-05×40589641000000     		ar = 670050.471609546m²