Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17552 / 11408
↖ ↑ ↗
← N 47.872144°
E 12.832032°		 ← 819.42 m → N 47.872144°
E 12.843017°		 →
↑
819.50 m
↓
↑
819.50 m
↓
N 47.864774°
E 12.832032°		 ← 819.53 m →
671 562 m²		 N 47.864774°
E 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535659790039062 y=0.348159790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535659790039062 × 215)
    floor (0.535659790039062 × 32768)
    floor (17552.5)     		tx = 17552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348159790039062 × 215)
    floor (0.348159790039062 × 32768)
    floor (11408.5)     		ty = 11408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17552 / 11408 ti = "15/17552/11408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17552/11408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17552 ÷ 215
    17552 ÷ 32768     		x = 0.53564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11408 ÷ 215
    11408 ÷ 32768     		y = 0.34814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34814453125 × 2 - 1) × π
    0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22396120} λ = 0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954136050037598))-π/2
    2×atan(2.59642643112413)-π/2
    2×1.20316142951122-π/2
    2.40632285902243-1.57079632675     		φ = 0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17552 KachelY 11408 0.22396120 0.83552653 12.832032 47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 17553 KachelY 11408 0.22415294 0.83552653 12.843017 47.872144
    Unten links KachelX 17552 KachelY + 1 11409 0.22396120 0.83539790 12.832032 47.864774
    Unten rechts KachelX + 1 17553 KachelY + 1 11409 0.22415294 0.83539790 12.843017 47.864774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83552653-0.83539790) × R
    0.000128629999999963 × 6371000     		dl = 819.501729999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83552653-0.83539790) × R
    0.000128629999999963 × 6371000     		dr = 819.501729999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22396120-0.22415294) × cos(0.83552653) × R
    0.000191739999999996 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 819.417327425454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22396120-0.22415294) × cos(0.83539790) × R
    0.000191739999999996 × 0.670882667653705 × 6371000     		du = 819.533857015697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83552653)-sin(0.83539790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.670882667653705)×R²
    abs(0.22415294-0.22396120)×9.5392864728705e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5392864728705e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5392864728705e-05×40589641000000     		ar = 671561.666444066m²