Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17568 / 11424
↖ ↑ ↗
← N 47.754098°
E 13.007813°		 ← 821.28 m → N 47.754098°
E 13.018799°		 →
↑
821.35 m
↓
↑
821.35 m
↓
N 47.746711°
E 13.007813°		 ← 821.40 m →
674 607 m²		 N 47.746711°
E 13.018799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536148071289062 y=0.348648071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536148071289062 × 215)
    floor (0.536148071289062 × 32768)
    floor (17568.5)     		tx = 17568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348648071289062 × 215)
    floor (0.348648071289062 × 32768)
    floor (11424.5)     		ty = 11424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17568 / 11424 ti = "15/17568/11424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17568/11424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17568 ÷ 215
    17568 ÷ 32768     		x = 0.5361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11424 ÷ 215
    11424 ÷ 32768     		y = 0.3486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5361328125 × 2 - 1) × π
    0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3486328125 × 2 - 1) × π
    0.302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.951068088461914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22702916} λ = 0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951068088461914))-π/2
    2×atan(2.58847290139962)-π/2
    2×1.202131283921-π/2
    2.40426256784201-1.57079632675     		φ = 0.83346624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83346624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.754098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17568 KachelY 11424 0.22702916 0.83346624 13.007813 47.754098
    Oben rechts KachelX + 1 17569 KachelY 11424 0.22722090 0.83346624 13.018799 47.754098
    Unten links KachelX 17568 KachelY + 1 11425 0.22702916 0.83333732 13.007813 47.746711
    Unten rechts KachelX + 1 17569 KachelY + 1 11425 0.22722090 0.83333732 13.018799 47.746711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83346624-0.83333732) × R
    0.000128919999999977 × 6371000     		dl = 821.349319999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83346624-0.83333732) × R
    0.000128919999999977 × 6371000     		dr = 821.349319999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22702916-0.22722090) × cos(0.83346624) × R
    0.000191739999999996 × 0.672313863706238 × 6371000     		do = 821.282171106416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22702916-0.22722090) × cos(0.83333732) × R
    0.000191739999999996 × 0.672409293239325 × 6371000     		du = 821.398745489829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83346624)-sin(0.83333732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672313863706238-0.672409293239325)×R²
    abs(0.22722090-0.22702916)×9.54295330870547e-05×R²
    0.000191739999999996×9.54295330870547e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.54295330870547e-05×40589641000000     		ar = 674607.427846096m²