Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17600 / 11456
↖ ↑ ↗
← N 47.517200°
E 13.359375°		 ← 825.06 m → N 47.517200°
E 13.370361°		 →
↑
825.11 m
↓
↑
825.11 m
↓
N 47.509780°
E 13.359375°		 ← 825.17 m →
680 810 m²		 N 47.509780°
E 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537124633789062 y=0.349624633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537124633789062 × 215)
    floor (0.537124633789062 × 32768)
    floor (17600.5)     		tx = 17600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349624633789062 × 215)
    floor (0.349624633789062 × 32768)
    floor (11456.5)     		ty = 11456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17600 / 11456 ti = "15/17600/11456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17600/11456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17600 ÷ 215
    17600 ÷ 32768     		x = 0.537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11456 ÷ 215
    11456 ÷ 32768     		y = 0.349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537109375 × 2 - 1) × π
    0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349609375 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23316508} λ = 0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944932165310547))-π/2
    2×atan(2.57263885851109)-π/2
    2×1.20006396514245-π/2
    2.4001279302849-1.57079632675     		φ = 0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17600 KachelY 11456 0.23316508 0.82933160 13.359375 47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 17601 KachelY 11456 0.23335683 0.82933160 13.370361 47.517200
    Unten links KachelX 17600 KachelY + 1 11457 0.23316508 0.82920209 13.359375 47.509780
    Unten rechts KachelX + 1 17601 KachelY + 1 11457 0.23335683 0.82920209 13.370361 47.509780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82933160-0.82920209) × R
    0.000129509999999944 × 6371000     		dl = 825.108209999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82933160-0.82920209) × R
    0.000129509999999944 × 6371000     		dr = 825.108209999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23316508-0.23335683) × cos(0.82933160) × R
    0.000191749999999991 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 825.057086359084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23316508-0.23335683) × cos(0.82920209) × R
    0.000191749999999991 × 0.675464347995798 × 6371000     		du = 825.173759487285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82933160)-sin(0.82920209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.675464347995798)×R²
    abs(0.23335683-0.23316508)×9.55053860627331e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55053860627331e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55053860627331e-05×40589641000000     		ar = 680809.510602724m²