Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19472 / 9232
↖ ↑ ↗
← N 61.522695°
E 33.925781°		 ← 582.49 m → N 61.522695°
E 33.936767°		 →
↑
582.50 m
↓
↑
582.50 m
↓
N 61.517456°
E 33.925781°		 ← 582.59 m →
339 330 m²		 N 61.517456°
E 33.936767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594253540039062 y=0.281753540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594253540039062 × 215)
    floor (0.594253540039062 × 32768)
    floor (19472.5)     		tx = 19472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281753540039062 × 215)
    floor (0.281753540039062 × 32768)
    floor (9232.5)     		ty = 9232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19472 / 9232 ti = "15/19472/9232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19472/9232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19472 ÷ 215
    19472 ÷ 32768     		x = 0.59423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9232 ÷ 215
    9232 ÷ 32768     		y = 0.28173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28173828125 × 2 - 1) × π
    0.4365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37137882433057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59211658} λ = 0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37137882433057))-π/2
    2×atan(3.94078059533747)-π/2
    2×1.32228495914185-π/2
    2.6445699182837-1.57079632675     		φ = 1.07377359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07377359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.522695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19472 KachelY 9232 0.59211658 1.07377359 33.925781 61.522695
    Oben rechts KachelX + 1 19473 KachelY 9232 0.59230833 1.07377359 33.936767 61.522695
    Unten links KachelX 19472 KachelY + 1 9233 0.59211658 1.07368216 33.925781 61.517456
    Unten rechts KachelX + 1 19473 KachelY + 1 9233 0.59230833 1.07368216 33.936767 61.517456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07377359-1.07368216) × R
    9.14300000001145e-05 × 6371000     		dl = 582.500530000729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07377359-1.07368216) × R
    9.14300000001145e-05 × 6371000     		dr = 582.500530000729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59211658-0.59230833) × cos(1.07377359) × R
    0.000191750000000046 × 0.476810623357779 × 6371000     		do = 582.490572310969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59211658-0.59230833) × cos(1.07368216) × R
    0.000191750000000046 × 0.476890988887545 × 6371000     		du = 582.588749996479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07377359)-sin(1.07368216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476810623357779-0.476890988887545)×R²
    abs(0.59230833-0.59211658)×8.03655297664241e-05×R²
    0.000191750000000046×8.03655297664241e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.03655297664241e-05×40589641000000     		ar = 339329.661604593m²