Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19520 / 13376
↖ ↑ ↗
← N 31.353637°
E 34.453125°		 ← 1 043.25 m → N 31.353637°
E 34.464112°		 →
↑
1 043.31 m
↓
↑
1 043.31 m
↓
N 31.344254°
E 34.453125°		 ← 1 043.35 m →
1 088 488 m²		 N 31.344254°
E 34.464112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595718383789062 y=0.408218383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595718383789062 × 215)
    floor (0.595718383789062 × 32768)
    floor (19520.5)     		tx = 19520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408218383789062 × 215)
    floor (0.408218383789062 × 32768)
    floor (13376.5)     		ty = 13376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19520 / 13376 ti = "15/19520/13376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19520/13376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19520 ÷ 215
    19520 ÷ 32768     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13376 ÷ 215
    13376 ÷ 32768     		y = 0.408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408203125 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576776776228516))-π/2
    2×atan(1.78029089699302)-π/2
    2×1.05901026194247-π/2
    2.11802052388494-1.57079632675     		φ = 0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19520 KachelY 13376 0.60132047 0.54722420 34.453125 31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 19521 KachelY 13376 0.60151222 0.54722420 34.464112 31.353637
    Unten links KachelX 19520 KachelY + 1 13377 0.60132047 0.54706044 34.453125 31.344254
    Unten rechts KachelX + 1 19521 KachelY + 1 13377 0.60151222 0.54706044 34.464112 31.344254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54722420-0.54706044) × R
    0.000163760000000068 × 6371000     		dl = 1043.31496000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54722420-0.54706044) × R
    0.000163760000000068 × 6371000     		dr = 1043.31496000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60151222) × cos(0.54722420) × R
    0.000191750000000046 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 1043.24584923961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60151222) × cos(0.54706044) × R
    0.000191750000000046 × 0.854057306982321 × 6371000     		du = 1043.34992795915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54722420)-sin(0.54706044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.854057306982321)×R²
    abs(0.60151222-0.60132047)×8.51959525227652e-05×R²
    0.000191750000000046×8.51959525227652e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.51959525227652e-05×40589641000000     		ar = 1088488.29734507m²