Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1983 / 1215
↖ ↑ ↗
← N 58.859224°
W  5.712891°		 ← 5 054.03 m → N 58.859224°
W  5.625000°		 →
↑
5 057.36 m
↓
↑
5 057.36 m
↓
N 58.813742°
W  5.712891°		 ← 5 060.67 m →
25 576 842 m²		 N 58.813742°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4842529296875 y=0.2967529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4842529296875 × 212)
    floor (0.4842529296875 × 4096)
    floor (1983.5)     		tx = 1983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2967529296875 × 212)
    floor (0.2967529296875 × 4096)
    floor (1215.5)     		ty = 1215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1983 / 1215 ti = "12/1983/1215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1983/1215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1983 ÷ 212
    1983 ÷ 4096     		x = 0.484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1215 ÷ 212
    1215 ÷ 4096     		y = 0.296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296630859375 × 2 - 1) × π
    0.40673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27780599627222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09970875} λ = -0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27780599627222))-π/2
    2×atan(3.58875733476322)-π/2
    2×1.29904178641985-π/2
    2.5980835728397-1.57079632675     		φ = 1.02728725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02728725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.859224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1983 KachelY 1215 -0.09970875 1.02728725 -5.712891 58.859224
    Oben rechts KachelX + 1 1984 KachelY 1215 -0.09817477 1.02728725 -5.625000 58.859224
    Unten links KachelX 1983 KachelY + 1 1216 -0.09970875 1.02649344 -5.712891 58.813742
    Unten rechts KachelX + 1 1984 KachelY + 1 1216 -0.09817477 1.02649344 -5.625000 58.813742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02728725-1.02649344) × R
    0.000793810000000006 × 6371000     		dl = 5057.36351000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02728725-1.02649344) × R
    0.000793810000000006 × 6371000     		dr = 5057.36351000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09970875--0.09817477) × cos(1.02728725) × R
    0.00153398 × 0.517142585672466 × 6371000     		do = 5054.02754972352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09970875--0.09817477) × cos(1.02649344) × R
    0.00153398 × 0.517821844059361 × 6371000     		du = 5060.66593282301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02728725)-sin(1.02649344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517142585672466-0.517821844059361)×R²
    abs(-0.09817477--0.09970875)×0.000679258386895532×R²
    0.00153398×0.000679258386895532×6371000²
    0.00153398×0.000679258386895532×40589641000000     		ar = 25576842.2097984m²