Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1983 / 1343
↖ ↑ ↗
← N 52.536273°
W  5.712891°		 ← 5 944.51 m → N 52.536273°
W  5.625000°		 →
↑
5 948.09 m
↓
↑
5 948.09 m
↓
N 52.482780°
W  5.712891°		 ← 5 951.75 m →
35 380 017 m²		 N 52.482780°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4842529296875 y=0.3280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4842529296875 × 212)
    floor (0.4842529296875 × 4096)
    floor (1983.5)     		tx = 1983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3280029296875 × 212)
    floor (0.3280029296875 × 4096)
    floor (1343.5)     		ty = 1343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1983 / 1343 ti = "12/1983/1343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1983/1343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1983 ÷ 212
    1983 ÷ 4096     		x = 0.484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1343 ÷ 212
    1343 ÷ 4096     		y = 0.327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327880859375 × 2 - 1) × π
    0.34423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08145645542847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09970875} λ = -0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08145645542847))-π/2
    2×atan(2.94897147031863)-π/2
    2×1.24386363403815-π/2
    2.4877272680763-1.57079632675     		φ = 0.91693094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91693094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.536273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1983 KachelY 1343 -0.09970875 0.91693094 -5.712891 52.536273
    Oben rechts KachelX + 1 1984 KachelY 1343 -0.09817477 0.91693094 -5.625000 52.536273
    Unten links KachelX 1983 KachelY + 1 1344 -0.09970875 0.91599732 -5.712891 52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 1984 KachelY + 1 1344 -0.09817477 0.91599732 -5.625000 52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91693094-0.91599732) × R
    0.000933619999999968 × 6371000     		dl = 5948.0930199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91693094-0.91599732) × R
    0.000933619999999968 × 6371000     		dr = 5948.0930199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09970875--0.09817477) × cos(0.91693094) × R
    0.00153398 × 0.608259048771312 × 6371000     		do = 5944.50752080562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09970875--0.09817477) × cos(0.91599732) × R
    0.00153398 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 5951.74720276522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91693094)-sin(0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608259048771312-0.608999833781129)×R²
    abs(-0.09817477--0.09970875)×0.00074078500981678×R²
    0.00153398×0.00074078500981678×6371000²
    0.00153398×0.00074078500981678×40589641000000     		ar = 35380017.4126068m²