Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1985 / 1217
↖ ↑ ↗
← N 58.768200°
W  5.537109°		 ← 5 067.31 m → N 58.768200°
W  5.449219°		 →
↑
5 070.68 m
↓
↑
5 070.68 m
↓
N 58.722599°
W  5.537109°		 ← 5 073.96 m →
25 711 561 m²		 N 58.722599°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4847412109375 y=0.2972412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4847412109375 × 212)
    floor (0.4847412109375 × 4096)
    floor (1985.5)     		tx = 1985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2972412109375 × 212)
    floor (0.2972412109375 × 4096)
    floor (1217.5)     		ty = 1217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1985 / 1217 ti = "12/1985/1217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1985/1217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1985 ÷ 212
    1985 ÷ 4096     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1217 ÷ 212
    1217 ÷ 4096     		y = 0.297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297119140625 × 2 - 1) × π
    0.40576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27473803469653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27473803469653))-π/2
    2×atan(3.5777640372856)-π/2
    2×1.2982474575129-π/2
    2.59649491502579-1.57079632675     		φ = 1.02569859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02569859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.768200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1985 KachelY 1217 -0.09664079 1.02569859 -5.537109 58.768200
    Oben rechts KachelX + 1 1986 KachelY 1217 -0.09510681 1.02569859 -5.449219 58.768200
    Unten links KachelX 1985 KachelY + 1 1218 -0.09664079 1.02490269 -5.537109 58.722599
    Unten rechts KachelX + 1 1986 KachelY + 1 1218 -0.09510681 1.02490269 -5.449219 58.722599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02569859-1.02490269) × R
    0.000795899999999961 × 6371000     		dl = 5070.67889999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02569859-1.02490269) × R
    0.000795899999999961 × 6371000     		dr = 5070.67889999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09510681) × cos(1.02569859) × R
    0.00153398 × 0.518501665428924 × 6371000     		do = 5067.30981794454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09510681) × cos(1.02490269) × R
    0.00153398 × 0.519182056613281 × 6371000     		du = 5073.95927185841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02569859)-sin(1.02490269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518501665428924-0.519182056613281)×R²
    abs(-0.09510681--0.09664079)×0.000680391184357254×R²
    0.00153398×0.000680391184357254×6371000²
    0.00153398×0.000680391184357254×40589641000000     		ar = 25711560.9537084m²