Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2113 / 1345
↖ ↑ ↗
← N 52.429222°
E  5.712891°		 ← 5 958.99 m → N 52.429222°
E  5.800781°		 →
↑
5 962.62 m
↓
↑
5 962.62 m
↓
N 52.375599°
E  5.712891°		 ← 5 966.24 m →
35 552 798 m²		 N 52.375599°
E  5.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5159912109375 y=0.3284912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5159912109375 × 212)
    floor (0.5159912109375 × 4096)
    floor (2113.5)     		tx = 2113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3284912109375 × 212)
    floor (0.3284912109375 × 4096)
    floor (1345.5)     		ty = 1345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2113 / 1345 ti = "12/2113/1345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2113/1345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2113 ÷ 212
    2113 ÷ 4096     		x = 0.515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1345 ÷ 212
    1345 ÷ 4096     		y = 0.328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515869140625 × 2 - 1) × π
    0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328369140625 × 2 - 1) × π
    0.34326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07838849385278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09970875} λ = 0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07838849385278))-π/2
    2×atan(2.93993800341013)-π/2
    2×1.24292943989319-π/2
    2.48585887978638-1.57079632675     		φ = 0.91506255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91506255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.429222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2113 KachelY 1345 0.09970875 0.91506255 5.712891 52.429222
    Oben rechts KachelX + 1 2114 KachelY 1345 0.10124273 0.91506255 5.800781 52.429222
    Unten links KachelX 2113 KachelY + 1 1346 0.09970875 0.91412665 5.712891 52.375599
    Unten rechts KachelX + 1 2114 KachelY + 1 1346 0.10124273 0.91412665 5.800781 52.375599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91506255-0.91412665) × R
    0.00093589999999999 × 6371000     		dl = 5962.61889999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91506255-0.91412665) × R
    0.00093589999999999 × 6371000     		dr = 5962.61889999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09970875-0.10124273) × cos(0.91506255) × R
    0.00153398 × 0.60974099944977 × 6371000     		do = 5958.9906048984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09970875-0.10124273) × cos(0.91412665) × R
    0.00153398 × 0.61048252732382 × 6371000     		du = 5966.23754686019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91506255)-sin(0.91412665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60974099944977-0.61048252732382)×R²
    abs(0.10124273-0.09970875)×0.000741527874049686×R²
    0.00153398×0.000741527874049686×6371000²
    0.00153398×0.000741527874049686×40589641000000     		ar = 35552797.9773316m²