Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2124 / 1388
↖ ↑ ↗
← N 50.064192°
E  6.679688°		 ← 6 273.56 m → N 50.064192°
E  6.767578°		 →
↑
6 277.22 m
↓
↑
6 277.22 m
↓
N 50.007739°
E  6.679688°		 ← 6 280.94 m →
39 403 696 m²		 N 50.007739°
E  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5186767578125 y=0.3389892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5186767578125 × 212)
    floor (0.5186767578125 × 4096)
    floor (2124.5)     		tx = 2124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3389892578125 × 212)
    floor (0.3389892578125 × 4096)
    floor (1388.5)     		ty = 1388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2124 / 1388 ti = "12/2124/1388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2124/1388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2124 ÷ 212
    2124 ÷ 4096     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1388 ÷ 212
    1388 ÷ 4096     		y = 0.3388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3388671875 × 2 - 1) × π
    0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01242731997559))-π/2
    2×atan(2.75227356213295)-π/2
    2×1.22229065496538-π/2
    2.44458130993076-1.57079632675     		φ = 0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2124 KachelY 1388 0.11658254 0.87378498 6.679688 50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 2125 KachelY 1388 0.11811652 0.87378498 6.767578 50.064192
    Unten links KachelX 2124 KachelY + 1 1389 0.11658254 0.87279970 6.679688 50.007739
    Unten rechts KachelX + 1 2125 KachelY + 1 1389 0.11811652 0.87279970 6.767578 50.007739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87378498-0.87279970) × R
    0.000985280000000088 × 6371000     		dl = 6277.21888000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87378498-0.87279970) × R
    0.000985280000000088 × 6371000     		dr = 6277.21888000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11811652) × cos(0.87378498) × R
    0.00153398 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 6273.56316511199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11811652) × cos(0.87279970) × R
    0.00153398 × 0.642684131133747 × 6371000     		du = 6280.94338874908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87378498)-sin(0.87279970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.642684131133747)×R²
    abs(0.11811652-0.11658254)×0.000755165637103761×R²
    0.00153398×0.000755165637103761×6371000²
    0.00153398×0.000755165637103761×40589641000000     		ar = 39403695.9721793m²