Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2125 / 1367
↖ ↑ ↗
← N 51.234407°
E  6.767578°		 ← 6 119.22 m → N 51.234407°
E  6.855469°		 →
↑
6 122.91 m
↓
↑
6 122.91 m
↓
N 51.179343°
E  6.767578°		 ← 6 126.54 m →
37 489 841 m²		 N 51.179343°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5189208984375 y=0.3338623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5189208984375 × 212)
    floor (0.5189208984375 × 4096)
    floor (2125.5)     		tx = 2125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3338623046875 × 212)
    floor (0.3338623046875 × 4096)
    floor (1367.5)     		ty = 1367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2125 / 1367 ti = "12/2125/1367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2125/1367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2125 ÷ 212
    2125 ÷ 4096     		x = 0.518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1367 ÷ 212
    1367 ÷ 4096     		y = 0.333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11811652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333740234375 × 2 - 1) × π
    0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11811652} λ = 0.11811652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04464091652026))-π/2
    2×atan(2.84237768950893)-π/2
    2×1.23250271268511-π/2
    2.46500542537021-1.57079632675     		φ = 0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11811652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2125 KachelY 1367 0.11811652 0.89420910 6.767578 51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 2126 KachelY 1367 0.11965050 0.89420910 6.855469 51.234407
    Unten links KachelX 2125 KachelY + 1 1368 0.11811652 0.89324804 6.767578 51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 2126 KachelY + 1 1368 0.11965050 0.89324804 6.855469 51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89420910-0.89324804) × R
    0.000961059999999958 × 6371000     		dl = 6122.91325999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89420910-0.89324804) × R
    0.000961059999999958 × 6371000     		dr = 6122.91325999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11811652-0.11965050) × cos(0.89420910) × R
    0.00153398 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 6119.21567658081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11811652-0.11965050) × cos(0.89324804) × R
    0.00153398 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 6126.53625698538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89420910)-sin(0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.626884750821521)×R²
    abs(0.11965050-0.11811652)×0.000749062770592168×R²
    0.00153398×0.000749062770592168×6371000²
    0.00153398×0.000749062770592168×40589641000000     		ar = 37489841.3319351m²