Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2132 / 1363
↖ ↑ ↗
← N 51.454007°
E  7.382813°		 ← 6 089.96 m → N 51.454007°
E  7.470703°		 →
↑
6 093.61 m
↓
↑
6 093.61 m
↓
N 51.399206°
E  7.382813°		 ← 6 097.27 m →
37 132 119 m²		 N 51.399206°
E  7.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5206298828125 y=0.3328857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5206298828125 × 212)
    floor (0.5206298828125 × 4096)
    floor (2132.5)     		tx = 2132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3328857421875 × 212)
    floor (0.3328857421875 × 4096)
    floor (1363.5)     		ty = 1363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2132 / 1363 ti = "12/2132/1363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2132/1363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2132 ÷ 212
    2132 ÷ 4096     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1363 ÷ 212
    1363 ÷ 4096     		y = 0.332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332763671875 × 2 - 1) × π
    0.33447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05077683967163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05077683967163))-π/2
    2×atan(2.85987191731015)-π/2
    2×1.23441908035032-π/2
    2.46883816070064-1.57079632675     		φ = 0.89804183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89804183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.454007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2132 KachelY 1363 0.12885439 0.89804183 7.382813 51.454007
    Oben rechts KachelX + 1 2133 KachelY 1363 0.13038837 0.89804183 7.470703 51.454007
    Unten links KachelX 2132 KachelY + 1 1364 0.12885439 0.89708537 7.382813 51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 2133 KachelY + 1 1364 0.13038837 0.89708537 7.470703 51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89804183-0.89708537) × R
    0.000956460000000048 × 6371000     		dl = 6093.60666000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89804183-0.89708537) × R
    0.000956460000000048 × 6371000     		dr = 6093.60666000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.13038837) × cos(0.89804183) × R
    0.00153397999999999 × 0.62314266278553 × 6371000     		do = 6089.96488082841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.13038837) × cos(0.89708537) × R
    0.00153397999999999 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 6097.27282754671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89804183)-sin(0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62314266278553-0.62389043284113)×R²
    abs(0.13038837-0.12885439)×0.000747770055600117×R²
    0.00153397999999999×0.000747770055600117×6371000²
    0.00153397999999999×0.000747770055600117×40589641000000     		ar = 37132119.2641373m²