Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2133 / 1365
↖ ↑ ↗
← N 51.344339°
E  7.470703°		 ← 6 104.58 m → N 51.344339°
E  7.558594°		 →
↑
6 108.26 m
↓
↑
6 108.26 m
↓
N 51.289406°
E  7.470703°		 ← 6 111.90 m →
37 310 728 m²		 N 51.289406°
E  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5208740234375 y=0.3333740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5208740234375 × 212)
    floor (0.5208740234375 × 4096)
    floor (2133.5)     		tx = 2133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3333740234375 × 212)
    floor (0.3333740234375 × 4096)
    floor (1365.5)     		ty = 1365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2133 / 1365 ti = "12/2133/1365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2133/1365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2133 ÷ 212
    2133 ÷ 4096     		x = 0.520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1365 ÷ 212
    1365 ÷ 4096     		y = 0.333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520751953125 × 2 - 1) × π
    0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333251953125 × 2 - 1) × π
    0.33349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04770887809595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13038837} λ = 0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04770887809595))-π/2
    2×atan(2.85111138551539)-π/2
    2×1.23346204433133-π/2
    2.46692408866266-1.57079632675     		φ = 0.89612776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89612776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.344339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2133 KachelY 1365 0.13038837 0.89612776 7.470703 51.344339
    Oben rechts KachelX + 1 2134 KachelY 1365 0.13192235 0.89612776 7.558594 51.344339
    Unten links KachelX 2133 KachelY + 1 1366 0.13038837 0.89516900 7.470703 51.289406
    Unten rechts KachelX + 1 2134 KachelY + 1 1366 0.13192235 0.89516900 7.558594 51.289406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89612776-0.89516900) × R
    0.000958760000000058 × 6371000     		dl = 6108.25996000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89612776-0.89516900) × R
    0.000958760000000058 × 6371000     		dr = 6108.25996000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13038837-0.13192235) × cos(0.89612776) × R
    0.00153397999999999 × 0.624638530203526 × 6371000     		do = 6104.58397302995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13038837-0.13192235) × cos(0.89516900) × R
    0.00153397999999999 × 0.625386952124284 × 6371000     		du = 6111.8982904177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89612776)-sin(0.89516900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624638530203526-0.625386952124284)×R²
    abs(0.13192235-0.13038837)×0.00074842192075808×R²
    0.00153397999999999×0.00074842192075808×6371000²
    0.00153397999999999×0.00074842192075808×40589641000000     		ar = 37310727.5890003m²