Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2140 / 1356
↖ ↑ ↗
← N 51.835778°
E  8.085937°		 ← 6 038.90 m → N 51.835778°
E  8.173828°		 →
↑
6 042.57 m
↓
↑
6 042.57 m
↓
N 51.781435°
E  8.085937°		 ← 6 046.19 m →
36 512 519 m²		 N 51.781435°
E  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5225830078125 y=0.3311767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5225830078125 × 212)
    floor (0.5225830078125 × 4096)
    floor (2140.5)     		tx = 2140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3311767578125 × 212)
    floor (0.3311767578125 × 4096)
    floor (1356.5)     		ty = 1356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2140 / 1356 ti = "12/2140/1356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2140/1356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2140 ÷ 212
    2140 ÷ 4096     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1356 ÷ 212
    1356 ÷ 4096     		y = 0.3310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06151470518652))-π/2
    2×atan(2.89074630319445)-π/2
    2×1.23775065741965-π/2
    2.47550131483931-1.57079632675     		φ = 0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2140 KachelY 1356 0.14112623 0.90470499 8.085937 51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 2141 KachelY 1356 0.14266021 0.90470499 8.173828 51.835778
    Unten links KachelX 2140 KachelY + 1 1357 0.14112623 0.90375654 8.085937 51.781435
    Unten rechts KachelX + 1 2141 KachelY + 1 1357 0.14266021 0.90375654 8.173828 51.781435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90470499-0.90375654) × R
    0.00094844999999999 × 6371000     		dl = 6042.57494999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90470499-0.90375654) × R
    0.00094844999999999 × 6371000     		dr = 6042.57494999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14266021) × cos(0.90470499) × R
    0.00153398000000002 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 6038.89998561949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14266021) × cos(0.90375654) × R
    0.00153398000000002 × 0.618662990374151 × 6371000     		du = 6046.18510246931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90470499)-sin(0.90375654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.618662990374151)×R²
    abs(0.14266021-0.14112623)×0.000745434038017412×R²
    0.00153398000000002×0.000745434038017412×6371000²
    0.00153398000000002×0.000745434038017412×40589641000000     		ar = 36512518.9480428m²