Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2175 / 1407
↖ ↑ ↗
← N 48.980217°
E 11.162109°		 ← 6 414.20 m → N 48.980217°
E 11.250000°		 →
↑
6 417.89 m
↓
↑
6 417.89 m
↓
N 48.922499°
E 11.162109°		 ← 6 421.63 m →
41 189 478 m²		 N 48.922499°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5311279296875 y=0.3436279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5311279296875 × 212)
    floor (0.5311279296875 × 4096)
    floor (2175.5)     		tx = 2175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3436279296875 × 212)
    floor (0.3436279296875 × 4096)
    floor (1407.5)     		ty = 1407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2175 / 1407 ti = "12/2175/1407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2175/1407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2175 ÷ 212
    2175 ÷ 4096     		x = 0.531005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1407 ÷ 212
    1407 ÷ 4096     		y = 0.343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531005859375 × 2 - 1) × π
    0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343505859375 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.983281685006592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19481556} λ = 0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983281685006592))-π/2
    2×atan(2.67321451110945)-π/2
    2×1.21283119075625-π/2
    2.4256623815125-1.57079632675     		φ = 0.85486605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85486605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.980217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2175 KachelY 1407 0.19481556 0.85486605 11.162109 48.980217
    Oben rechts KachelX + 1 2176 KachelY 1407 0.19634954 0.85486605 11.250000 48.980217
    Unten links KachelX 2175 KachelY + 1 1408 0.19481556 0.85385869 11.162109 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 2176 KachelY + 1 1408 0.19634954 0.85385869 11.250000 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85486605-0.85385869) × R
    0.00100736000000001 × 6371000     		dl = 6417.89056000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85486605-0.85385869) × R
    0.00100736000000001 × 6371000     		dr = 6417.89056000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19481556-0.19634954) × cos(0.85486605) × R
    0.00153397999999999 × 0.65631957862558 × 6371000     		do = 6414.20243409901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19481556-0.19634954) × cos(0.85385869) × R
    0.00153397999999999 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 6421.62700002541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85486605)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65631957862558-0.657079281492828)×R²
    abs(0.19634954-0.19481556)×0.000759702867247802×R²
    0.00153397999999999×0.000759702867247802×6371000²
    0.00153397999999999×0.000759702867247802×40589641000000     		ar = 41189477.7606876m²