Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2176 / 1408
↖ ↑ ↗
← N 48.922499°
E 11.250000°		 ← 6 421.63 m → N 48.922499°
E 11.337891°		 →
↑
6 425.34 m
↓
↑
6 425.34 m
↓
N 48.864715°
E 11.250000°		 ← 6 429.05 m →
41 285 029 m²		 N 48.864715°
E 11.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5313720703125 y=0.3438720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5313720703125 × 212)
    floor (0.5313720703125 × 4096)
    floor (2176.5)     		tx = 2176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3438720703125 × 212)
    floor (0.3438720703125 × 4096)
    floor (1408.5)     		ty = 1408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2176 / 1408 ti = "12/2176/1408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2176/1408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2176 ÷ 212
    2176 ÷ 4096     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1408 ÷ 212
    1408 ÷ 4096     		y = 0.34375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34375 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98174770421875))-π/2
    2×atan(2.66911699496664)-π/2
    2×1.21232750861677-π/2
    2.42465501723354-1.57079632675     		φ = 0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2176 KachelY 1408 0.19634954 0.85385869 11.250000 48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 2177 KachelY 1408 0.19788352 0.85385869 11.337891 48.922499
    Unten links KachelX 2176 KachelY + 1 1409 0.19634954 0.85285016 11.250000 48.864715
    Unten rechts KachelX + 1 2177 KachelY + 1 1409 0.19788352 0.85285016 11.337891 48.864715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85385869-0.85285016) × R
    0.00100853000000001 × 6371000     		dl = 6425.34463000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85385869-0.85285016) × R
    0.00100853000000001 × 6371000     		dr = 6425.34463000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.19788352) × cos(0.85385869) × R
    0.00153398000000002 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 6421.62700002552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.19788352) × cos(0.85285016) × R
    0.00153398000000002 × 0.657839198768838 × 6371000     		du = 6429.05366136588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85385869)-sin(0.85285016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.657839198768838)×R²
    abs(0.19788352-0.19634954)×0.000759917276010325×R²
    0.00153398000000002×0.000759917276010325×6371000²
    0.00153398000000002×0.000759917276010325×40589641000000     		ar = 41285029.4891186m²