Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2178 / 1414
↖ ↑ ↗
← N 48.574790°
E 11.425781°		 ← 6 466.22 m → N 48.574790°
E 11.513672°		 →
↑
6 469.94 m
↓
↑
6 469.94 m
↓
N 48.516604°
E 11.425781°		 ← 6 473.66 m →
41 860 113 m²		 N 48.516604°
E 11.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5318603515625 y=0.3453369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5318603515625 × 212)
    floor (0.5318603515625 × 4096)
    floor (2178.5)     		tx = 2178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3453369140625 × 212)
    floor (0.3453369140625 × 4096)
    floor (1414.5)     		ty = 1414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2178 / 1414 ti = "12/2178/1414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2178/1414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2178 ÷ 212
    2178 ÷ 4096     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1414 ÷ 212
    1414 ÷ 4096     		y = 0.34521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34521484375 × 2 - 1) × π
    0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972543819491699))-π/2
    2×atan(2.64466345622225)-π/2
    2×1.20929317209337-π/2
    2.41858634418674-1.57079632675     		φ = 0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2178 KachelY 1414 0.19941750 0.84779002 11.425781 48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 2179 KachelY 1414 0.20095148 0.84779002 11.513672 48.574790
    Unten links KachelX 2178 KachelY + 1 1415 0.19941750 0.84677449 11.425781 48.516604
    Unten rechts KachelX + 1 2179 KachelY + 1 1415 0.20095148 0.84677449 11.513672 48.516604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84779002-0.84677449) × R
    0.00101552999999999 × 6371000     		dl = 6469.94162999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84779002-0.84677449) × R
    0.00101552999999999 × 6371000     		dr = 6469.94162999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.20095148) × cos(0.84779002) × R
    0.00153397999999999 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 6466.21689659126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.20095148) × cos(0.84677449) × R
    0.00153397999999999 × 0.662402970941446 × 6371000     		du = 6473.65534556284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84779002)-sin(0.84677449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.662402970941446)×R²
    abs(0.20095148-0.19941750)×0.000761123420225052×R²
    0.00153397999999999×0.000761123420225052×6371000²
    0.00153397999999999×0.000761123420225052×40589641000000     		ar = 41860112.6507238m²