Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2180 / 1404
↖ ↑ ↗
← N 49.152970°
E 11.601562°		 ← 6 391.94 m → N 49.152970°
E 11.689453°		 →
↑
6 395.66 m
↓
↑
6 395.66 m
↓
N 49.095452°
E 11.601562°		 ← 6 399.36 m →
40 904 382 m²		 N 49.095452°
E 11.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5323486328125 y=0.3428955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5323486328125 × 212)
    floor (0.5323486328125 × 4096)
    floor (2180.5)     		tx = 2180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3428955078125 × 212)
    floor (0.3428955078125 × 4096)
    floor (1404.5)     		ty = 1404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2180 / 1404 ti = "12/2180/1404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2180/1404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2180 ÷ 212
    2180 ÷ 4096     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1404 ÷ 212
    1404 ÷ 4096     		y = 0.3427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987883627370117))-π/2
    2×atan(2.68554484018595)-π/2
    2×1.21433874220473-π/2
    2.42867748440947-1.57079632675     		φ = 0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2180 KachelY 1404 0.20248546 0.85788116 11.601562 49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 2181 KachelY 1404 0.20401944 0.85788116 11.689453 49.152970
    Unten links KachelX 2180 KachelY + 1 1405 0.20248546 0.85687729 11.601562 49.095452
    Unten rechts KachelX + 1 2181 KachelY + 1 1405 0.20401944 0.85687729 11.689453 49.095452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85788116-0.85687729) × R
    0.00100387000000002 × 6371000     		dl = 6395.65577000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85788116-0.85687729) × R
    0.00100387000000002 × 6371000     		dr = 6395.65577000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20401944) × cos(0.85788116) × R
    0.00153397999999999 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 6391.94124106908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20401944) × cos(0.85687729) × R
    0.00153397999999999 × 0.654800805807568 × 6371000     		du = 6399.35948773051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85788116)-sin(0.85687729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.654800805807568)×R²
    abs(0.20401944-0.20248546)×0.000759056261942281×R²
    0.00153397999999999×0.000759056261942281×6371000²
    0.00153397999999999×0.000759056261942281×40589641000000     		ar = 40904381.591106m²