Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2183 / 1417
↖ ↑ ↗
← N 48.400033°
E 11.865235°		 ← 6 488.54 m → N 48.400033°
E 11.953125°		 →
↑
6 492.30 m
↓
↑
6 492.30 m
↓
N 48.341646°
E 11.865235°		 ← 6 495.98 m →
42 149 727 m²		 N 48.341646°
E 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5330810546875 y=0.3460693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5330810546875 × 212)
    floor (0.5330810546875 × 4096)
    floor (2183.5)     		tx = 2183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3460693359375 × 212)
    floor (0.3460693359375 × 4096)
    floor (1417.5)     		ty = 1417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2183 / 1417 ti = "12/2183/1417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2183/1417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2183 ÷ 212
    2183 ÷ 4096     		x = 0.532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1417 ÷ 212
    1417 ÷ 4096     		y = 0.345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532958984375 × 2 - 1) × π
    0.06591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20708741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    0.30810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.967941877128174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20708741} λ = 0.20708741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967941877128174))-π/2
    2×atan(2.63252082869139)-π/2
    2×1.20776812595292-π/2
    2.41553625190584-1.57079632675     		φ = 0.84473993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20708741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.865235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84473993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.400033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2183 KachelY 1417 0.20708741 0.84473993 11.865235 48.400033
    Oben rechts KachelX + 1 2184 KachelY 1417 0.20862139 0.84473993 11.953125 48.400033
    Unten links KachelX 2183 KachelY + 1 1418 0.20708741 0.84372089 11.865235 48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 2184 KachelY + 1 1418 0.20862139 0.84372089 11.953125 48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84473993-0.84372089) × R
    0.00101904000000008 × 6371000     		dl = 6492.30384000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84473993-0.84372089) × R
    0.00101904000000008 × 6371000     		dr = 6492.30384000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20708741-0.20862139) × cos(0.84473993) × R
    0.00153397999999999 × 0.663925784885643 × 6371000     		do = 6488.53778580332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20708741-0.20862139) × cos(0.84372089) × R
    0.00153397999999999 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 6495.98178853541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84473993)-sin(0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663925784885643-0.664687476582563)×R²
    abs(0.20862139-0.20708741)×0.000761691696919753×R²
    0.00153397999999999×0.000761691696919753×6371000²
    0.00153397999999999×0.000761691696919753×40589641000000     		ar = 42149726.7940276m²