Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2185 / 1415
↖ ↑ ↗
← N 48.516604°
E 12.041016°		 ← 6 473.66 m → N 48.516604°
E 12.128906°		 →
↑
6 477.40 m
↓
↑
6 477.40 m
↓
N 48.458352°
E 12.041016°		 ← 6 481.10 m →
41 956 528 m²		 N 48.458352°
E 12.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5335693359375 y=0.3455810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5335693359375 × 212)
    floor (0.5335693359375 × 4096)
    floor (2185.5)     		tx = 2185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3455810546875 × 212)
    floor (0.3455810546875 × 4096)
    floor (1415.5)     		ty = 1415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2185 / 1415 ti = "12/2185/1415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2185/1415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2185 ÷ 212
    2185 ÷ 4096     		x = 0.533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1415 ÷ 212
    1415 ÷ 4096     		y = 0.345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533447265625 × 2 - 1) × π
    0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345458984375 × 2 - 1) × π
    0.30908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.971009838703857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21015537} λ = 0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971009838703857))-π/2
    2×atan(2.64060970327457)-π/2
    2×1.20878540727582-π/2
    2.41757081455165-1.57079632675     		φ = 0.84677449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84677449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.516604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2185 KachelY 1415 0.21015537 0.84677449 12.041016 48.516604
    Oben rechts KachelX + 1 2186 KachelY 1415 0.21168935 0.84677449 12.128906 48.516604
    Unten links KachelX 2185 KachelY + 1 1416 0.21015537 0.84575779 12.041016 48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 2186 KachelY + 1 1416 0.21168935 0.84575779 12.128906 48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84677449-0.84575779) × R
    0.00101670000000009 × 6371000     		dl = 6477.39570000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84677449-0.84575779) × R
    0.00101670000000009 × 6371000     		dr = 6477.39570000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21015537-0.21168935) × cos(0.84677449) × R
    0.00153397999999999 × 0.662402970941446 × 6371000     		do = 6473.65534556284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21015537-0.21168935) × cos(0.84575779) × R
    0.00153397999999999 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 6481.09567659634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84677449)-sin(0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662402970941446-0.663164286939641)×R²
    abs(0.21168935-0.21015537)×0.000761315998195178×R²
    0.00153397999999999×0.000761315998195178×6371000²
    0.00153397999999999×0.000761315998195178×40589641000000     		ar = 41956527.8968894m²