Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2224 / 1424
↖ ↑ ↗
← N 47.989922°
E 15.468750°		 ← 6 540.68 m → N 47.989922°
E 15.556641°		 →
↑
6 544.42 m
↓
↑
6 544.42 m
↓
N 47.931066°
E 15.468750°		 ← 6 548.14 m →
42 829 361 m²		 N 47.931066°
E 15.556641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5430908203125 y=0.3477783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5430908203125 × 212)
    floor (0.5430908203125 × 4096)
    floor (2224.5)     		tx = 2224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3477783203125 × 212)
    floor (0.3477783203125 × 4096)
    floor (1424.5)     		ty = 1424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2224 / 1424 ti = "12/2224/1424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2224/1424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2224 ÷ 212
    2224 ÷ 4096     		x = 0.54296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1424 ÷ 212
    1424 ÷ 4096     		y = 0.34765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54296875 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34765625 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26998062} λ = 0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957204011613281))-π/2
    2×atan(2.60440439944139)-π/2
    2×1.20418923382357-π/2
    2.40837846764713-1.57079632675     		φ = 0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2224 KachelY 1424 0.26998062 0.83758214 15.468750 47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 2225 KachelY 1424 0.27151460 0.83758214 15.556641 47.989922
    Unten links KachelX 2224 KachelY + 1 1425 0.26998062 0.83655492 15.468750 47.931066
    Unten rechts KachelX + 1 2225 KachelY + 1 1425 0.27151460 0.83655492 15.556641 47.931066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83758214-0.83655492) × R
    0.00102722 × 6371000     		dl = 6544.41861999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83758214-0.83655492) × R
    0.00102722 × 6371000     		dr = 6544.41861999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26998062-0.27151460) × cos(0.83758214) × R
    0.00153397999999999 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 6540.68185873097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26998062-0.27151460) × cos(0.83655492) × R
    0.00153397999999999 × 0.670024214973752 × 6371000     		du = 6548.13766121348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83758214)-sin(0.83655492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.670024214973752)×R²
    abs(0.27151460-0.26998062)×0.000762899081204638×R²
    0.00153397999999999×0.000762899081204638×6371000²
    0.00153397999999999×0.000762899081204638×40589641000000     		ar = 42829360.8561274m²