Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2242 / 1218
↖ ↑ ↗
← N 58.722599°
E 17.050781°		 ← 5 073.96 m → N 58.722599°
E 17.138672°		 →
↑
5 077.24 m
↓
↑
5 077.24 m
↓
N 58.676938°
E 17.050781°		 ← 5 080.61 m →
25 778 610 m²		 N 58.676938°
E 17.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5474853515625 y=0.2974853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5474853515625 × 212)
    floor (0.5474853515625 × 4096)
    floor (2242.5)     		tx = 2242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2974853515625 × 212)
    floor (0.2974853515625 × 4096)
    floor (1218.5)     		ty = 1218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2242 / 1218 ti = "12/2242/1218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2242/1218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2242 ÷ 212
    2242 ÷ 4096     		x = 0.54736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1218 ÷ 212
    1218 ÷ 4096     		y = 0.29736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29736328125 × 2 - 1) × π
    0.4052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27320405390869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29759227} λ = 0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27320405390869))-π/2
    2×atan(3.57228002325043)-π/2
    2×1.29784951082656-π/2
    2.59569902165312-1.57079632675     		φ = 1.02490269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02490269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.722599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2242 KachelY 1218 0.29759227 1.02490269 17.050781 58.722599
    Oben rechts KachelX + 1 2243 KachelY 1218 0.29912625 1.02490269 17.138672 58.722599
    Unten links KachelX 2242 KachelY + 1 1219 0.29759227 1.02410576 17.050781 58.676938
    Unten rechts KachelX + 1 2243 KachelY + 1 1219 0.29912625 1.02410576 17.138672 58.676938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02490269-1.02410576) × R
    0.000796929999999918 × 6371000     		dl = 5077.24102999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02490269-1.02410576) × R
    0.000796929999999918 × 6371000     		dr = 5077.24102999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29759227-0.29912625) × cos(1.02490269) × R
    0.00153397999999999 × 0.519182056613281 × 6371000     		do = 5073.95927185837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29759227-0.29912625) × cos(1.02410576) × R
    0.00153397999999999 × 0.51986299879566 × 6371000     		du = 5080.61411066851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02490269)-sin(1.02410576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519182056613281-0.51986299879566)×R²
    abs(0.29912625-0.29759227)×0.00068094218237913×R²
    0.00153397999999999×0.00068094218237913×6371000²
    0.00153397999999999×0.00068094218237913×40589641000000     		ar = 25778609.6742802m²