Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2305 / 1279
↖ ↑ ↗
← N 55.825973°
E 22.587890°		 ← 5 489.57 m → N 55.825973°
E 22.675781°		 →
↑
5 493.08 m
↓
↑
5 493.08 m
↓
N 55.776573°
E 22.587890°		 ← 5 496.54 m →
30 173 762 m²		 N 55.776573°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5628662109375 y=0.3123779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5628662109375 × 212)
    floor (0.5628662109375 × 4096)
    floor (2305.5)     		tx = 2305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3123779296875 × 212)
    floor (0.3123779296875 × 4096)
    floor (1279.5)     		ty = 1279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2305 / 1279 ti = "12/2305/1279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2305/1279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2305 ÷ 212
    2305 ÷ 4096     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1279 ÷ 212
    1279 ÷ 4096     		y = 0.312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312255859375 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17963122585034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17963122585034))-π/2
    2×atan(3.25317429507142)-π/2
    2×1.27257168409968-π/2
    2.54514336819935-1.57079632675     		φ = 0.97434704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97434704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.825973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2305 KachelY 1279 0.39423306 0.97434704 22.587890 55.825973
    Oben rechts KachelX + 1 2306 KachelY 1279 0.39576704 0.97434704 22.675781 55.825973
    Unten links KachelX 2305 KachelY + 1 1280 0.39423306 0.97348484 22.587890 55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 2306 KachelY + 1 1280 0.39576704 0.97348484 22.675781 55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97434704-0.97348484) × R
    0.000862200000000035 × 6371000     		dl = 5493.07620000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97434704-0.97348484) × R
    0.000862200000000035 × 6371000     		dr = 5493.07620000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39576704) × cos(0.97434704) × R
    0.00153397999999999 × 0.561708390106942 × 6371000     		do = 5489.56855838851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39576704) × cos(0.97348484) × R
    0.00153397999999999 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 5496.5378668261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97434704)-sin(0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561708390106942-0.562421509722991)×R²
    abs(0.39576704-0.39423306)×0.000713119616049251×R²
    0.00153397999999999×0.000713119616049251×6371000²
    0.00153397999999999×0.000713119616049251×40589641000000     		ar = 30173761.7367445m²