Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 252 / 156
↖ ↑ ↗
← N 57.326521°
W  2.812500°		 ← 42.208 km → N 57.326521°
W  2.109375°		 →
↑
42.426 km
↓
↑
42.426 km
↓
N 56.944974°
W  2.812500°		 ← 42.645 km →
1 799.99 km²		 N 56.944974°
W  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4931640625 y=0.3056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4931640625 × 29)
    floor (0.4931640625 × 512)
    floor (252.5)     		tx = 252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3056640625 × 29)
    floor (0.3056640625 × 512)
    floor (156.5)     		ty = 156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 252 / 156 ti = "9/252/156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/252/156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 252 ÷ 29
    252 ÷ 512     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 156 ÷ 29
    156 ÷ 512     		y = 0.3046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3046875 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22718463027344))-π/2
    2×atan(3.41161105636743)-π/2
    2×1.28566643543521-π/2
    2.57133287087041-1.57079632675     		φ = 1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 252 KachelY 156 -0.04908739 1.00053654 -2.812500 57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 253 KachelY 156 -0.03681554 1.00053654 -2.109375 57.326521
    Unten links KachelX 252 KachelY + 1 157 -0.04908739 0.99387729 -2.812500 56.944974
    Unten rechts KachelX + 1 253 KachelY + 1 157 -0.03681554 0.99387729 -2.109375 56.944974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00053654-0.99387729) × R
    0.00665924999999989 × 6371000     		dl = 42426.0817499993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00053654-0.99387729) × R
    0.00665924999999989 × 6371000     		dr = 42426.0817499993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.03681554) × cos(1.00053654) × R
    0.01227185 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 42207.6671043149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.03681554) × cos(0.99387729) × R
    0.01227185 × 0.545444229211031 × 6371000     		du = 42644.9878079947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00053654)-sin(0.99387729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.545444229211031)×R²
    abs(-0.03681554--0.04908739)×0.00559348393322634×R²
    0.01227185×0.00559348393322634×6371000²
    0.01227185×0.00559348393322634×40589641000000     		ar = 1799989488.81471m²