Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 265 / 172
↖ ↑ ↗
← N 50.736455°
E  6.328125°		 ← 49.482 km → N 50.736455°
E  7.031250°		 →
↑
49.717 km
↓
↑
49.717 km
↓
N 50.289339°
E  6.328125°		 ← 49.953 km →
2 471.80 km²		 N 50.289339°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5185546875 y=0.3369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5185546875 × 29)
    floor (0.5185546875 × 512)
    floor (265.5)     		tx = 265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3369140625 × 29)
    floor (0.3369140625 × 512)
    floor (172.5)     		ty = 172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 265 / 172 ti = "9/265/172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/265/172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 265 ÷ 29
    265 ÷ 512     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 172 ÷ 29
    172 ÷ 512     		y = 0.3359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3359375 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03083508942969))-π/2
    2×atan(2.80340595213717)-π/2
    2×1.22815725985374-π/2
    2.45631451970748-1.57079632675     		φ = 0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 265 KachelY 172 0.11044662 0.88551819 6.328125 50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 266 KachelY 172 0.12271846 0.88551819 7.031250 50.736455
    Unten links KachelX 265 KachelY + 1 173 0.11044662 0.87771455 6.328125 50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 266 KachelY + 1 173 0.12271846 0.87771455 7.031250 50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88551819-0.87771455) × R
    0.00780364 × 6371000     		dl = 49716.99044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88551819-0.87771455) × R
    0.00780364 × 6371000     		dr = 49716.99044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.12271846) × cos(0.88551819) × R
    0.01227184 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 49481.6772702242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.12271846) × cos(0.87771455) × R
    0.01227184 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 49952.5462023435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88551819)-sin(0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.638910963826672)×R²
    abs(0.12271846-0.11044662)×0.0060225823532144×R²
    0.01227184×0.0060225823532144×6371000²
    0.01227184×0.0060225823532144×40589641000000     		ar = 2471797712.62365m²