Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 268 / 168
↖ ↑ ↗
← N 52.482780°
E  8.437500°		 ← 47.614 km → N 52.482780°
E  9.140625°		 →
↑
47.846 km
↓
↑
47.846 km
↓
N 52.052490°
E  8.437500°		 ← 48.078 km →
2 289.26 km²		 N 52.052490°
E  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5244140625 y=0.3291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5244140625 × 29)
    floor (0.5244140625 × 512)
    floor (268.5)     		tx = 268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3291015625 × 29)
    floor (0.3291015625 × 512)
    floor (168.5)     		ty = 168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 268 / 168 ti = "9/268/168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/268/168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 268 ÷ 29
    268 ÷ 512     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 168 ÷ 29
    168 ÷ 512     		y = 0.328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328125 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07992247464063))-π/2
    2×atan(2.94445127257388)-π/2
    2×1.24339682112596-π/2
    2.48679364225192-1.57079632675     		φ = 0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 268 KachelY 168 0.14726216 0.91599732 8.437500 52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 269 KachelY 168 0.15953400 0.91599732 9.140625 52.482780
    Unten links KachelX 268 KachelY + 1 169 0.14726216 0.90848734 8.437500 52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 269 KachelY + 1 169 0.15953400 0.90848734 9.140625 52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91599732-0.90848734) × R
    0.00750998000000003 × 6371000     		dl = 47846.0825800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91599732-0.90848734) × R
    0.00750998000000003 × 6371000     		dr = 47846.0825800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.15953400) × cos(0.91599732) × R
    0.01227184 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 47613.9776221217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.15953400) × cos(0.90848734) × R
    0.01227184 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 48078.348023066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91599732)-sin(0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.614939297592205)×R²
    abs(0.15953400-0.14726216)×0.00593946381107624×R²
    0.01227184×0.00593946381107624×6371000²
    0.01227184×0.00593946381107624×40589641000000     		ar = 2289262217.05029m²