Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 271 / 177
↖ ↑ ↗
← N 48.458352°
E 10.546875°		 ← 51.849 km → N 48.458352°
E 11.250000°		 →
↑
52.087 km
↓
↑
52.087 km
↓
N 47.989922°
E 10.546875°		 ← 52.325 km →
2 713.08 km²		 N 47.989922°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5302734375 y=0.3466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5302734375 × 29)
    floor (0.5302734375 × 512)
    floor (271.5)     		tx = 271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3466796875 × 29)
    floor (0.3466796875 × 512)
    floor (177.5)     		ty = 177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 271 / 177 ti = "9/271/177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/271/177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 271 ÷ 29
    271 ÷ 512     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 177 ÷ 29
    177 ÷ 512     		y = 0.345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345703125 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969475857916016))-π/2
    2×atan(2.63656216393904)-π/2
    2×1.20827705861076-π/2
    2.41655411722153-1.57079632675     		φ = 0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 271 KachelY 177 0.18407769 0.84575779 10.546875 48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 272 KachelY 177 0.19634954 0.84575779 11.250000 48.458352
    Unten links KachelX 271 KachelY + 1 178 0.18407769 0.83758214 10.546875 47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 272 KachelY + 1 178 0.19634954 0.83758214 11.250000 47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84575779-0.83758214) × R
    0.00817564999999998 × 6371000     		dl = 52087.0661499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84575779-0.83758214) × R
    0.00817564999999998 × 6371000     		dr = 52087.0661499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.19634954) × cos(0.84575779) × R
    0.01227185 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 51848.8076629678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.19634954) × cos(0.83758214) × R
    0.01227185 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 52325.4975084865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84575779)-sin(0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.669261315892548)×R²
    abs(0.19634954-0.18407769)×0.00609702895290676×R²
    0.01227185×0.00609702895290676×6371000²
    0.01227185×0.00609702895290676×40589641000000     		ar = 2713082074.4652m²